HEAVEN INSITE's Blog

　昨夜放送された「頭脳王」という番組。私は仕事で最後の方しか見れなかったんですが（フィリップス曲線とかクォークが出題！）ななななんと恐竜の問題があったということで、恐竜ファンとしては絶対解いておきたい！と、問題を調べて計算してみました。

　ティラノサウルスの化石に含まれる炭素１４の量は５.１６×１０-3838
　現在生きている生物に含まれる炭素１４の量は１．２×１０-12

　※ただし
　log0.5１．２＝－０．３６１
　log0.5４．３＝－１．２９
　log0.5５．１６＝－１．５５
　log0.5１０＝－３．０１

　何年か前にブログで取り上げたけれど、炭素１４は５７３０年たつと、総数の半分はベータ線を出して安定した窒素に変わるから（ベータ崩壊）、１．２×１０-12あった炭素１４がものすごい時間を経て５.１６×１０-3838まで量が減った（窒素に変わった）って考えればいい。

　つまり

　ティラノサウルスが死んじゃった時点の炭素１４の量×半減期を何回繰り返したか＝現在のティラノサウルスの化石に残っている炭素１４の量

　と式を立てればいい。放射性同位体は、半減期が１回来ると、２分の１に、２回来るとさらに減って４分の１、３回来ると８分の１・・・と所さんの組曲冬の情景のように減っていくので

　１．２×１０-12×２分の１のＸ乗＝５.１６×１０-3838

　となる。で１．２×１０-12をイコールの右に移項して

　２分の１のＸ乗＝（５.１６×１０-3838）÷（１．２×１０-12）

　２分の１のＸ乗＝（５．１６÷１．２）×（１０-3826）

　２分の１のＸ乗＝４．３×１０-3826


　ここで

　Ｘ＝ほにゃらら・・・

　の形にするには高校の頃に出てきたlogを使う必要がある。これが私は理屈自体は割と簡単なんだけど、表し方がとにかく覚えにくくて、すごい嫌だった。地震のマグニチュードとかはこの指数対数で出すんだけどね。

　例えば
　
　３2＝９
　
　で、これは中学校で習うから楽勝だけど、この小さい数字（ここでは2）を指数って言うんだけど、こいつをメインにした式を作る場合は

　２＝log3９
　
　という形にする。つまりlog3９とは３を何回かければ９になりますか？という意味になるってわけ。

　だからさっきの式

　２分の１のＸ乗＝４．３×１０-3826

　は

　Ｘ＝log0.5４．３×１０-3826

　Ｘ＝log0.5４．３＋log0.5１０-3826

　となる。

　よって
　
　Ｘ＝－１．２９＋log0.5１０-3826

　さすがにlog0.5１０-3826の方はちょっと桁が凄まじく小さいので

　１０の－３８２６乗ってことは小数点が左に３８２６回動くってことなので

　－３８２６log0.5１０

　に変形してから
　※真数についている指数はlogの前に係数として出せる。（例log2９＝log2３2＝２log2３）

　－３８２６×－３．０１

　＝１１５１６．２６

　となる。

　よって

　Ｘ＝－１．２９＋１１５１６．２６

　Ｘ＝１１５１４．９７

　となりこのティラノサウルスの化石はなんと１１５１４回も半減期を繰り返したことになる。

　で、炭素１４は５７３０年で半減期を一回、倍の１１４６０年で半減期を２回・・・という感じで減っていくから、１１５１６回やるには５７３０×１１５１４になって

　化石の年齢は６５９７５２２０歳ということがわかる。

　とんでもなく太古の遺物である恐竜の化石に半減期が短い（！）炭素１４を使うことってあまりないって博物館学では教わったんだけど（すぐに枯渇するから誤差が大きい）、でも６６００万年前といえば白亜紀後期だし、炭素１４でもあながち見当はずれの結果は出ないということがわかった。もちろん恐竜の時代と現代で生物に含まれる炭素１４の量が変わらない（地球の大気組成が変わらない）という前提が必要だけど。

　そしてこれをあっさり解いてしまう東大医学部。
　さらに日本史の試験が明日なのに全然関係ない記事を深夜に書いている私。こやつらの一度読んだ本は暗記できてしまうチート頭脳が欲しい。

　追記：こしさんと話したんだけど、この問題、仮定の

　※ただし
　log0.5１．２＝－０．３６１
　log0.5４．３＝－１．２９
　log0.5５．１６＝－１．５５
　log0.5１０＝－３．０１

　が、おかしくて、底の０．５を常用対数で出しちゃって真数でかけちゃってるんだよね。本当は底の変換公式を使うからlog0.5４．３はだいたい－２くらいになるはずなんだ。
　でもさ、仮にも天才東大生とかが解いてる問題で、問題自体にミスがあるってあるのか？っていう。だいたい高校で数学得意な人は気づくような、すごい初歩的なミスじゃん。
　で、計算し直すとこの恐竜の化石の古さは7000万年前くらいになっちゃって、まあ白亜紀後期（マーストヒリト期）には変わりないんだけど、ちょっとティラノサウルスの時代とずれてしまう。
　つーか、こういう問題を解くのが得意な秀才の決定的弱点って、問題の枠組みの中で答えを出すのはすごいけれど、前提そのものにはあんまり疑ってかからないってことなのかな。そんなことに、いちいち疑ってたらテストの点数に反映されないしな。例えば自分の意見を論理的に表現する記述問題とかはどれくらい得意なんだろうっていう。
　だから、あれなんだ。音ゲーのめちゃくちゃ上手い人を見ているような、そんな感じ。プレイはメチャすごくてとんでもないけれど、その音ゲー自体は作れないんだっていう(^_^;)