代数学覚え書き②

 こんばんは。モジュラス攻略月間開催中です。でも今はあえて『真田丸』観ます。

モジュラス
まずはルールのおさらい。

X≡A (mod B)

これは、ある数をBで割ると、あまりはAという意味。
≡のマークは余りが同じである事を表す。

よって
X=B×m+A(mは整数)

例題1
x≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=19m+3 …①(mは整数)
x=11n+2 …②(nは整数)


①を②に代入して
19m+3=11n+2

移項して

19m=11n-1…③

左辺は19の倍数なので19、38・・・76(m=4)
右辺は11の倍数なので11、22・・・77(n=7)

m=4、n=7 がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
19×(4)=11×(7)-1

なので
19(m-4)=11(n-7)-1-(-1)

19(m-4)=11(n-7)
となる。

さらに19と11は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から、この等式を成り立たせるためには

m-4も11の倍数(nー7は19の倍数)だということになる。

したがって
m-4=11k

移項して

m=11k+4(kは整数)…④

最後に④を①に代入して

x=19m+3
x=19(11k+4)+3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x=209k+79(kは任意の整数)

例題2
x≡3(mod23)かつx≡2(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=23m+3 …①(mは整数)
x=14n+2 …②(nは整数)


①を②に代入して
23m+3=14n+2

移項して

23m=14n-1…③

左辺は23の倍数なので23、46・・・69(m=3)
右辺は14の倍数なので14、28・・・70(n=5)

m=3、n=5 がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
23×(3)=14×(5)-1

なので
23(m-3)=14(n-5)-1-(-1)

23(m-3)=14(n-5)
となる。

さらに23と14は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から

m-3も14の倍数。

したがって
m-3=14k

移項して

m=14k+3(kは整数)…④

最後に④を①に代入して

x=23m+3
x=23(14k+3)+3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x=322k+72(kは任意の整数)

例題3
x≡4(mod23)かつx≡2(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=23m+4(mは整数)…①
x=14n+2(nは整数)…②


①を②に代入して
23m+4=14n+2

23m=14n-2…③

左辺は23の倍数なので23、46、69…138(m=6)
右辺は14の倍数なので14、28、42…140(n=10)

m=6、n=10 がとりあえず該当する。

よって
23×(6)=14×(10)-2

なので
23(m-6)=14(n-10)-2-(-2)

23(m-6)=14(n-10)
となる。

さらに23と14は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から

m-6も14の倍数。

したがって
m-6=14k

移項して
m=14k+6

m=14k+6(kは整数)…④

最後に④を①に代入して
x=23m+4
x=23(14k+6)+4
x=322k+142

したがってx≡2(mod23)かつx≡3(mod14)を満たす整数xは

x=322k+142(kは任意の整数)
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