球体の体積について

 球体の体積の求め方はとりあえず「4πr3/3」なんですけど、これがなんでこうなるのか説明するのはなかなか厄介です。

 そもそも複雑な形の体積を求める方法には、「水を使う」というやり方があって、昔は恐竜の体重なんかもこれで算出していたのですが、現在ではあまりにアバウトなんでやってないと思います。体積だけで質量(重さ)算出するのは難しいと思うし。
 で、これはどういうことかというと、大きな水槽に水をギリギリまで入れて、その水槽に体積を求めたい物体を入れて、水槽からあふれた水の量を図るという方法です。

 とにかくそんな感じで水を使って、それぞれ同じ底面積で、同じ高さrの円柱、円錐、半球の体積を調べたら、もちろん円柱は円錐の三倍(円錐の体積は円柱÷3だから)で、半球は円錐のちょうど二倍であることが解りました。
 つまり円柱の体積は、円錐一個と(円錐二個分の体積である)半球一個を足した体積となります。
 このことは円錐と、向きを円錐と逆にしてひっくり返した(ここが重要!)逆さの半球の断面積の合計が、どこでスライスしても円柱の底面積と同じになることからも証明が出来ます。

 よって体積の大きさは「円柱>半球>円錐」で、「円柱の体積=半球の体積+円錐の体積」だから、この式を変形して「半球の体積=円柱の体積-円錐の体積」。
 つまり「円柱の体積=底面積πr2×高さr=πr3」「円錐の体積=円柱の体積÷3=πr3/3」で「半球の体積=(πr3)-πr3/3」となります。
 これを計算すると、分数の引き算なんで、分母を3で通分して、答えは2πr3/3。

 あとは球体は半球の二倍の体積なので、2をかけてやって、球体の体積は「4πr3/3」となるわけです。
 他にも球の体積は「半円の回転体の体積がうんたら・・・」みたいに積分でやる気になればやれるような気もしますけど、私の知能を大きく超える話になるので、ここはdario氏にまる投げということで・・・
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