HEAVEN INSITE's Blog

　力学的エネルギー＝位置エネルギー+運動エネルギー

　振り子や斜面を転がっていくボールなどで有名なやつで、運動エネルギーが上がると、それに伴って位置エネルギーが下がり、位置エネルギーが上がると運動エネルギーが下がるという、シーソーみたいな関係になっている。
　そして位置エネルギーと運動エネルギーの合計値は、どんな状態でも同じ値になるというのが、力学的エネルギー保存の法則。
　そもそも力学的エネルギーってのは、位置エネルギーと運動エネルギーの合計値として定義されたもので、これは、まあルールみたいなもの。
　例えば、力学的エネルギーが１０だとして、位置エネルギーが８なら、運動エネルギーは２。位置エネルギーが４だったら、運動エネルギーは６といった感じ。

　んで、位置エネルギーは物体の重さ（質量）と高さによって定まると、中学校の教科書には書かれているけど、もう少し厳密に言うと、位置エネルギーは物体の質量と、重力によって定まる。

　位置エネルギー＝質量×重力
　E＝m（マッス）×G（重力Gは重力加速度×高さで求められる）

　となると、高さが高ければ位置エネルギーは大きくなるわけで、となると重力も高さに伴い大きくなるということになる。
　しかし、よくよく考えたら、地球が引っ張る引力って地球から離れれば離れるほど、弱くなるから、これっていろいろ矛盾している。
　つまり、この位置エネルギーの算出方法は「※ただし地表で」という歯切れの悪いエクスキューズが必要だという(^_^;)

　対して運動エネルギーは、物体の重さと速さによって定まる。ただし、こちらは式がちょっと複雑で、１/２×重さ×速さの２乗になる。

　運動エネルギー＝質量×速さ×速さ÷２
　E＝m×v×v（ベロシティ）÷２

　これは、重力によって物体のスピードがどんどん速くなっていくため（等加速度運動）。

　瞬間の速さ＝加速度×その時間
　v＝a（アクセレーション）×t

　中学校の理科でやるように、移動距離を示す記録テープを紙に貼って、縦軸：速さ、横軸：時間のグラフを完成させると、等加速度運動は、比例の直線のグラフになるので、例えば、動き出して10秒後の移動距離は、横軸の変域が０～10までに含まれる三角形の面積と等しくなる。∑的な考え（アレ大嫌いw）。
　だから、三角形の面積（道のり）＝底辺（時間）×高さ（速さ）÷２より・・・

　道のり＝時間×速さ÷２
　道のり＝時間×加速度×時間÷２
　道のり＝加速度×時間の２乗÷２

　になる。

　ここで、新キャラが出てきちゃうんだけど、この時に物体にかかっている力・・・F（フォース）はその物体の質量と加速度によって求められる。
　なぜなら、自動車とかをイメージすればいいんだけど、重いものをたくさん加速させるにはそれだけ力がいるから。

　力＝重さ×加速度
　F＝m×a

　つまり両辺を重さでわると・・・

　加速度＝力÷重さ

　に等式変形ができる。この式をさっきの「道のり＝加速度×時間の２乗÷２」に代入すると・・・

　道のり＝（力÷重さ）×時間の２乗÷２

　そしてエネルギーEは、力と道のり（ストローク）をかけた値（E=F×s）なので・・・上の式の両辺に力をかけると・・・

　エネルギー＝力の２乗×時間の２乗÷重さ÷２

　さらに、時間がまだ残っちゃっているので、次は・・・

　速さ＝加速度×時間を

　時間＝速さ÷加速度

　に変形し、その加速度に「加速度＝力÷重さ」を代入。

　時間＝速さ÷（力÷重さ）

　分数のマトリョーシカになっちゃったので(^_^;)「重さ/重さ＝１」をかけてやって

　時間＝速さ×重さ÷力

　これをエネルギーの式に代入し・・・

　エネルギー＝力の２乗×（速さ×重さ÷力）の二乗÷重さ÷２になって、力の２乗が約分されて消えてしまう。また重さの方も、指数がひとつ消える。
　よって

　エネルギー＝重さ×速さの二乗÷２
　
　を、導くことができる・・・意外と大変。まあ、教習所で習うように、自動車のエネルギーは、その自動車の重量に比例して、スピードに関しては２乗に比例するってこと。だからスピード出し過ぎは、自動車を重くするよりも危険。まあどっちも危険。

　さて、あとは力学的エネルギー保存の式に、位置エネルギーと運動エネルギーの式を代入する。

　位置エネルギーの最大値＝運動エネルギーの最大値
　重さ×重力加速度×高さ＝重さ×速さの２乗÷２
　mgh＝１/２mv2

　この時の高さは、例えば坂を下るボールなら、二つの地点の高低差でもOK。

　あと難しいんだけど、スキーのジャンプ台みたいなのがあったとき、選手がジャンプ台からシュババって飛んだ時のエネルギーが、ジャンプの最高点を決めるから・・・力学的エネルギー＝位置エネルギー+運動エネルギーの式に代入すれば、ジャンプの最高到達点が求められる。
　また、この手のジャンプを斜方投射って言うらしいのだが、その場合水平方向へは等速直線運動を続ける。実際は空気抵抗が絶対かかるから減速すると思うんだけどね。
　例えば、傾斜角60度のジャンプ台（！）で速度10で斜方投射させたら、水平方向の速度は、三角比からコサインで出せて、コサイン60度は２分の１なので、水平方向の速度は５ということになる。