力学的エネルギー保存の法則について

 力学的エネルギー=位置エネルギー+運動エネルギー

 振り子や斜面を転がっていくボールなどで有名なやつで、運動エネルギーが上がると、それに伴って位置エネルギーが下がり、位置エネルギーが上がると運動エネルギーが下がるという、シーソーみたいな関係になっている。
 そして位置エネルギーと運動エネルギーの合計値は、どんな状態でも同じ値になるというのが、力学的エネルギー保存の法則。
 そもそも力学的エネルギーってのは、位置エネルギーと運動エネルギーの合計値として定義されたもので、これは、まあルールみたいなもの。
 例えば、力学的エネルギーが10だとして、位置エネルギーが8なら、運動エネルギーは2。位置エネルギーが4だったら、運動エネルギーは6といった感じ。

 んで、位置エネルギーは物体の重さ(質量)と高さによって定まると、中学校の教科書には書かれているけど、もう少し厳密に言うと、位置エネルギーは物体の質量と、重力によって定まる。

 位置エネルギー=質量×重力
 E=m(マッス)×G(重力Gは重力加速度×高さで求められる)

 となると、高さが高ければ位置エネルギーは大きくなるわけで、となると重力も高さに伴い大きくなるということになる。
 しかし、よくよく考えたら、地球が引っ張る引力って地球から離れれば離れるほど、弱くなるから、これっていろいろ矛盾している。
 つまり、この位置エネルギーの算出方法は「※ただし地表で」という歯切れの悪いエクスキューズが必要だという(^_^;)

 対して運動エネルギーは、物体の重さと速さによって定まる。ただし、こちらは式がちょっと複雑で、1/2×重さ×速さの2乗になる。

 運動エネルギー=質量×速さ×速さ÷2
 E=m×v×v(ベロシティ)÷2

 これは、重力によって物体のスピードがどんどん速くなっていくため(等加速度運動)。

 瞬間の速さ=加速度×その時間
 v=a(アクセレーション)×t

 中学校の理科でやるように、移動距離を示す記録テープを紙に貼って、縦軸:速さ、横軸:時間のグラフを完成させると、等加速度運動は、比例の直線のグラフになるので、例えば、動き出して10秒後の移動距離は、横軸の変域が0~10までに含まれる三角形の面積と等しくなる。∑的な考え(アレ大嫌いw)。
 だから、三角形の面積(道のり)=底辺(時間)×高さ(速さ)÷2より・・・

 道のり=時間×速さ÷2
 道のり=時間×加速度×時間÷2
 道のり=加速度×時間の2乗÷2

 になる。

 ここで、新キャラが出てきちゃうんだけど、この時に物体にかかっている力・・・F(フォース)はその物体の質量と加速度によって求められる。
 なぜなら、自動車とかをイメージすればいいんだけど、重いものをたくさん加速させるにはそれだけ力がいるから。

 力=重さ×加速度
 F=m×a

 つまり両辺を重さでわると・・・

 加速度=力÷重さ

 に等式変形ができる。この式をさっきの「道のり=加速度×時間の2乗÷2」に代入すると・・・

 道のり=(力÷重さ)×時間の2乗÷2

 そしてエネルギーEは、力と道のり(ストローク)をかけた値(E=F×s)なので・・・上の式の両辺に力をかけると・・・

 エネルギー=力の2乗×時間の2乗÷重さ÷2

 さらに、時間がまだ残っちゃっているので、次は・・・

 速さ=加速度×時間を

 時間=速さ÷加速度

 に変形し、その加速度に「加速度=力÷重さ」を代入。

 時間=速さ÷(力÷重さ)

 分数のマトリョーシカになっちゃったので(^_^;)「重さ/重さ=1」をかけてやって

 時間=速さ×重さ÷力

 これをエネルギーの式に代入し・・・

 エネルギー=力の2乗×(速さ×重さ÷力)の二乗÷重さ÷2になって、力の2乗が約分されて消えてしまう。また重さの方も、指数がひとつ消える。
 よって

 エネルギー=重さ×速さの二乗÷2
 
 を、導くことができる・・・意外と大変。まあ、教習所で習うように、自動車のエネルギーは、その自動車の重量に比例して、スピードに関しては2乗に比例するってこと。だからスピード出し過ぎは、自動車を重くするよりも危険。まあどっちも危険。

 さて、あとは力学的エネルギー保存の式に、位置エネルギーと運動エネルギーの式を代入する。

 位置エネルギーの最大値=運動エネルギーの最大値
 重さ×重力加速度×高さ=重さ×速さの2乗÷2
 mgh=1/2mv2

 この時の高さは、例えば坂を下るボールなら、二つの地点の高低差でもOK。

 あと難しいんだけど、スキーのジャンプ台みたいなのがあったとき、選手がジャンプ台からシュババって飛んだ時のエネルギーが、ジャンプの最高点を決めるから・・・力学的エネルギー=位置エネルギー+運動エネルギーの式に代入すれば、ジャンプの最高到達点が求められる。
 また、この手のジャンプを斜方投射って言うらしいのだが、その場合水平方向へは等速直線運動を続ける。実際は空気抵抗が絶対かかるから減速すると思うんだけどね。
 例えば、傾斜角60度のジャンプ台(!)で速度10で斜方投射させたら、水平方向の速度は、三角比からコサインで出せて、コサイン60度は2分の1なので、水平方向の速度は5ということになる。
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