しかし、数学を解いていると時間があっという間に過ぎてタイムワープするよね。そして寝不足。そりゃ、円周率やフェルマーの最終定理の証明に人生すべてを使っちゃう人も出てくるよね。
この前買った統計学の本にも「なんと！このテキストは通し読みがたったの二週間でできます！」みたいに書いてあって、軽く衝撃を受けたもんw読書に対するイメージが文系のそれとは全く異なるわけだ。
だから高校の数学のカリキュラムがいかに無茶な詰め込みをやっているのがよくわかるよね。初見は理解に時間がかかるのは当たり前なのに、自分の学校なんかは理系進学校とかで３年分を２年で終わしちゃってたしね。当然取り残されたしたよ、あたしゃ（C）浅香光代さん
むしろ、あれでついていける方がおかしいんだよな。エリート以外をそぎ落とすためのカリキュラムなんだろうな。
参考文献：塚田真一著『Ｐrimary大学テキストこれだけはおさえたい確率統計』
確率の基本用語
中学～高校で習う言葉をおさらい。
おう、なつだぜ。おれはげんきだぜ。カップとキャップがややこしいぜ。
施行
結果が偶然に支配されている実験のこと。ある施行（サイコロを転がす）を行った時に、起こり得る結果（２や５）を根本事象、これを集めた集合を標本空間Ω（１、２、３、４、５、６）という。
数学的確率（ラプラスの確率定義）
有名なラプラスによる定義（Since1812）。ある施行（例：サイコロをふる）についての標本空間のサイズがn（１～６の目＝６通り）で、どの根本事象（目）も、“同様に確からしく”起きるとき、Eが起きる場合の数をrとすると、Eが起きる確率P(E)は
P(E)＝r／n
経験的確率（統計的確率）
明日の天気や保険会社の掛け金など、手持ちの統計（データ）をもとに未来を予測する確率。
サイコロを振る回数をどんどん増やしていけばいくほど、ある目が出る回数はだんだん１／６に近づいていくという考え方。
つまり試行回数をn、そのうちEが起きた回数をrとすると
P(E)＝lim（n→∞）r／n
リヒャルト・フォン・ミーゼスが定義（Since1928）。ちなみに兄のルートヴィヒ・ミーゼスはハイエクの師匠として有名なオーストリア学派の経済学者。
全事象
必ず起こる事象。
空事象
絶対起こらない事象。
和事象
AかBのどっちか一方が起きる事象のこと。A∪B（AカップB）と表す。
AorBのがわかりやすい気がする。
積事象
AtoBが同時に起きる事象のこと。A∩B（AキャップB）と表す。
AandBのがわかりやすい気がする。
A∩Bが空事象であるときは、AtoBは互いに排反であると呼ばれる。
余事象
Aが起こらない事象。Acと表す。Aは起こるが、Bは起こらない事象はA∩Bcとする。
ド・モルガンの法則
モーガンではなく、あえてモルガンと読む。ベン図を書くと分かりやすい。
①Ａが不可能またはＢが不可能である場合、ＡとＢを兼ねることは不可能。
Ac∪Bc＝（A∩B）c
②ＡとＢが同時に不可能である（ＡもＢも起きない）場合、ＡまたはＢであることは不可能。
Ac∩Bc＝（A∪B）c
確率分布
ひとつのサイコロを2回投げた時、出た目の大きい値をxとする。
このときxの確率分布および、その平均と分散を求めよ。
x＝１の時
２回とも１の目の時だけなので
１／６×１／６＝１／36
x＝２の時
①１回目が１、２回目が２の時
②１回目が２、２回目が１の時
③１回目も２回目も２が出た時
の３パターンあるので
３／36
もしくは（１回目も２回目も２以下の目の時）－（x＝１の時）なので
２／６×２／６－１／36＝３／36
x＝３の時
同様に（１回目も２回目も３以下の目の時）－（１回目も２回目も２以下の目の時）なので
３／６×３／６－４／36＝５／36
x＝４の時
（１回目も２回目も４以下の目の時）－（１回目も２回目も３以下の目の時）なので
４／６×４／６－９／36＝７／36
x＝５の時
以下省略
５／６×５／６－16／36＝９／36
x＝６の時
６／36×６／36－25／36＝11／36
したがって確率分布の平均は
（１×１／36）＋（２×３／36）＋（３×５／36）＋（４×７／36）＋（５×９／36）＋（６×11／36）＝161／36≒4.472
分散は、（各事象と平均との差の二乗）×その事象の確率なので
｛１－（161／36）｝＾2×１／36
＋｛２－（161／36）｝＾2×３／36
＋｛３－（161／36）｝＾2×５／36
＋｛４－（161／36）｝＾2×７／36
＋｛５－（161／36）｝＾2×９／36
＋｛６－（161／36）｝＾2×11／36
となり、通分して分子を足したり、電卓を使って二乗すると
15625×１／46656
＋7921×３／46656
＋2809×５／46656
＋289×７／46656
＋361×９／46656
＋3025×11／46656
15625／46656
＋23763／46656
＋14045／46656
＋2023／46656
＋3249／46656
＋33275／46656
＝91980／46656
≒1.97
倍数の判定方法
それぞれ１、２、３、４が書かれたカード４枚を無作為に並び替えて４ケタの数字を作る。
この時出来た数字が４の倍数である確率を求めよ。
無作為に並べて出来る４ケタの数は４×３×２×１＝24通り。
４の倍数は100の位より大きい位はすべて４で割れてしまうので、下２ケタだけ確認すればいい。
４（250×A＋25×C）＋10×C＋１×D
４ケタの数字の下２ケタが４の倍数になる場合は、12、24、32の３通りなので、４の倍数になる確率は３／24＝１／８
ベイズの定理
Aが起きる確率×Aが起きて更にBが起きる確率と
Bが起きる確率×Bが起きて更にAが起きる確率は
AとBが同時に起きる確率と等しいという定理。
P（A）×P（B｜A）＝P(B)×P（A｜B）＝P（A∩B）
Aを「ハンバーガーを注文した客の数」、Bを「ポテトを注文した客の数」などにして、ベン図を書いて実際に計算してみるとわかりやすい。
例えば100人のお客がサンドサンドバーガーコスモ店にやってきて、そのうちハンバーガーをオーダーした客が70人、ポテトをオーダーした客が30人いたとする。
さらにハンバーガーとポテトをどちらもオーダーした人は100人中20人いた。
ハンバーガーとポテトをどちらも注文した人の確率は言うまでもなく２／10
ハンバーガーを注文し、さらにポテトを注文した人の確率は70／100×20／70＝２／10
ポテトを注文し、さらにハンバーガーを注文した人の確率は30／100×20／30＝２／10
よってどれも同じ確率である。
もう一つ大学で出された問題をやってみる。
同じ形をした３個の箱Ａ，Ｂ，Ｃがある。
箱Ａの中には赤玉１個と青玉１個が入っている。
箱Ｂの中には赤玉１個と青玉３個、箱Ｃの中には赤玉２個と青玉３個が入っている。
３つの箱の中から１つの箱を選び、選んだその箱から玉を１個無作為に取り出すとき、次の確率を求めよ。
（１）取り出した玉が青玉である確率
青玉が出る事象をbとすると、その確率P（b）は
P（b）＝P（b∩A）∪（b∩B）∪（b∩C）
＝P（b∩A）＋P（b∩B）＋P（b∩C）
箱Ａを選んで青玉を取り出す確率P（b∩A）は
１／３×１／２＝１／６
箱Ｂを選んで青玉を取り出す確率P（b∩B）は
１／３×３／４＝１／４
箱Ｃを選んで青玉を取り出す確率P（b∩C）は
１／３×３／５＝１／５
したがって
取り出した玉が青玉である確率は
１／６＋１／４＋１／５＝37／60
（２）取り出した玉が青玉であるとき、箱Ａが選ばれた確率
箱Ａを選んで青玉を取り出す確率／取り出した玉が青玉である確率
なので
１/６/37/60 ＝10／37
確率密度関数
根本事象がデジタルな離散形の確率ならともかく、連続型の確率の場合、その事象がピッタリ起きる確率はほとんどゼロであるため、確率を求めたい事象にA以上B以下といった具合に幅を持たせる。
この考えのもと、連続型確率変数 X（どの根本事象が起きるかによって変わる変数。サイコロの目なら１～６のどれか） に対して，Xが a 以上 b 以下となる確率が
P(a≦X≦b)=∫[a→b]f(x)dx
である場合、f(x)は確率密度関数と呼ばれる。
また、このときの平均は、確率変数X×確率密度関数f(x)の積分となるため
E(X)＝∫[a→b]Xf(x)dx
連続型確率変数Xの一次変換Y＝aX＋b (aとbは定数)の平均は
E[Y]＝a E[X] ＋bになることを確かめてみる。
確率密度関数をf（x）、確率変数をXとする
E(X)＝∫[－∞→∞]Xf(x)dx
Y＝aX＋bとして
E(Y)＝∫[－∞→∞] Yf(y)dy
＝∫[－∞→∞] （aX＋b）f(x)dx
＝a∫[－∞→∞]Xf(x)dx＋b∫[－∞→∞]f(x)dx
＝aE[X]＋b※
※∫[－∞→∞]f(x)dxの確率は１（100％）になるため。
確率分布の平均
f（x）＝k（x＾2－１）（－１≦x≦１）
f（x）＝０（x＜－１、１＜x）
が確率密度になるようにkの値を求め、その確率分布の平均を求めよ。
上の式を積分すると
１の積分はx
x＾2の積分はx＾3／３なので
－４／３k＝１なので、k＝－３／４
確率分布の平均は
※カッコの中が１／４－１／４と１／２－１／２になるので
平均は０である。
モーメント（積率）
次の日頑張ったので追加。モーメントとは確率分布の特徴を表す量。
E［X］を確率の期待値（平均値）、次数をkとすると
離散形では
連続型では
となり、１次（k＝１）だと期待値（平均値）、２次（k＝２）だと分散、３次（k＝３）だと歪度、４次（k＝４）だと尖度が求められる。
モーメント母関数
微分して任意の実数tに０を代入すれば、１次、２次、３次・・・と、すべての次数のモーメントが得られる関数をモーメント母関数（モーメント・ジェネレーティング・ファンクション）という。
離散形では
連続型では
モーメント母関数は微分が無制限にできるので、テーラー展開（Xのべき乗の多項式に展開すること）ができる。
標準正規分布のモーメント母関数
平均＝０、分散＝１の標準正規分布の式は
なので、連続型の方の式に代入すると
※正規分布の式を－∞～∞の区間で積分すると１になる（確率関数なので）。
よって標準正規分布のモーメント母関数は
となる。
このモーメント母関数を１～４階微分して導関数を求めると、それぞれ
となる。（※）
これらの式に、それぞれt＝０を代入すると
１次モーメントは０
２次モーメントはeの０乗の答えは１になるので１
３次モーメントは０
４次モーメントは一番左の項だけ生き残って３×１＝３
となる。
（※）こしさんの解説（ありがとうございました！）
