地学実験覚え書き①

 お久しぶりです&おはようございます。今日中に以下の石ころをすべて判別できるようにというミッション・インポッシブルが下されました。マジで覚え書き。

堆積岩
大気や水の風化侵食運搬堆積作用でできる岩石。

砕屑岩
粒の角が河川の運搬によって削られて丸い。

①礫岩(コングロメレート)
粒の大きさが2ミリ以上。

②砂岩(サンドストーン)
粒の大きさが2ミリ未満~1/16ミリ以上。
石英が砕けた粒(珪岩)をたくさん含むものはグレイワッケと呼ばれる。

③泥岩(マドストーン)
粒の大きさが1/16ミリ未満。

④頁岩(シェール)
本のページのようにペラペラと薄くはがれることにちなむ。
内部に含まれる有機物の関係で光沢がある。
近年某合衆国がこの岩石からオイルやガスを取り出す技術を開発した。プロミストランド。一方のカナダではアノマロカリスなどが挟まっている。

⑤粘板岩(スレート)
頁岩に似るが、さらに真っ黒でキレイ。
内部の有機物は完全に炭化(石墨化)しており、そのために光沢がない。宮城県石巻市で質がいいものがとれ、鉛筆の芯や、すずり、東京駅の屋根瓦などに使用されている。

火山噴出岩
火山噴出物は広域に及ぶため、別の場所の地層を対比する際、キーベッド(カギ層)となる。
見分けるポイントは、火山灰はガラスの粒子であるため、粒の角がとがっていること。
凝灰礫岩と凝灰岩(ゼオライト)はほとんど区別がつかないが、凝灰岩のほうはなめると舌に吸い付くので(唾液が無数の小さい孔に入るため)、キーベッド探しの時は調査隊はカタツムリのごとく地層をなめるらしい。

生物岩
珪藻土やドロマイトなどいろいろあるらしいが、代表的なものはいつものこの二つ。

①石灰岩(ライムストーン)
主成分は炭酸カルシウム。有孔虫やサンゴの死骸が海底に堆積して固化。

②チャート
ガラス片という意味。
珪藻類や放散虫の死骸がマリンスノーとして海底に堆積し固化。
非常に硬く、火打石として用いられる。茶色っぽい。

火成岩
溶岩(ラバー)やマグマが冷えて固まった岩石。

深成岩
マグマが地中深くでゆっくり冷えたもの。等粒状組織を持つ。肉眼ではかなり分かりにくいが、偏光顕微鏡のクロスニコル設定で覗くと、大きな結晶で岩石が隙間なく敷き詰められているのがよくわかる。

①花崗岩(グラナイト)
もっともメジャーな深成岩。花崗は中国の地名に由来。グラナイトは「粒の石」という意味。
シリカの含有量が多く、反対に鉄とマグネシウムの含有量が少ないため全体的に白っぽい。
古くなると鉄が酸化することでピンク色になっていく・・・といっても3億年位たたないとピンクにならない。
含まれる造岩鉱物は
白いものが斜長石(カルシウムとナトリウム)とカリ長石。
透明なものは石英。
黒いものは黒雲母と角閃石。

②閃緑岩(ディオライト)
きらめく緑の石という意味だが全体的に灰色。花崗岩と区別がつきにくいため「区別する」という意味でディオライトと名付けられた。しかし比較するとわかるが、花崗岩はグロス調で閃緑岩はマット調っぽい。
造岩鉱物の白いものは斜長石。
緑のものはカルシウムを含んだ明るい緑色の角閃石。

③斑糲岩(ガブロ)
斑状に黒い石という意味。
全体的に黒くかなりキラキラしている。いわゆる黒御影石。
玄武岩とともに海洋プレートを構成する。

火山岩
地表付近のマグマが急冷したもの。斑状組織を持つ。
偏光顕微鏡で覗くと石基(グランドマス)と呼ばれている部分も実は斑晶(フィナクリスト)同様に細かい結晶でできていることが分かる。そのため中学校で石基をガラス質と教えるのは厳密には誤り。
斑状組織.jpg
偏光顕微鏡のクロスニコルで見た斑状組織(安山岩のもの)。石基(グランドマス)の部分も実は微小な結晶で出来ていることがわかる。
明確な平行線の縞々(双晶)が走っている灰色~白の斑晶は斜長石。
レインボー的にカラフルな斑晶は角閃石。分厚さによってブルー→グリーン→オレンジと色が違って見える(薄くなるほど黄色っぽくなる)。

①流紋岩(ライアライト)
火山岩で最も白っぽい。
名前の由来は溶岩が流れた跡(縞模様)が岩石に残されているため。
白っぽいマグマは粘り気が強く溶岩ドームを形成する。溶岩ドーム崩壊の際の火砕流は温度が400℃、時速は70~300キロメートルに達し、たびたび犠牲者を出す。
ちなみに特殊な流紋岩として、黒曜石やピッチストーンといったガラス質のタイプがある。どちらも割ると鋭く尖るがピッチストーンの方はもろいので石器にはならない。

②安山岩(アンデサイト)
灰色の火山岩。
アメリカを“米”と漢字表記するように、アンデス山脈を“安山”としてみたらしい。
オーソドックスな輝石安山岩のほかに、黒っぽい角閃石安山岩、ごま塩状の黒雲母安山岩がある。

③玄武岩(ビソート)
黒色の火山岩。兵庫県の洞窟の名前にちなむ。
海洋プレートの最上部を構成する。
また、砂岩と酷似しており専門家でも見分けがつかないことがある。しかしサラサラのマグマが急冷されたため内部に火山ガスがまだ含まれていることがあり、ほのかに硫黄の香りがする・・・らしいが鼻づまりには厳しい。
サラサラのマグマは溶岩台地を形成し、その世界最大のものが西シベリア台地、次いでデカン高原。

変成岩
堆積岩や火成岩が、接触したマグマの熱(接触変成)や地中の温度や圧力(広域変成)の影響を受けて再結晶化したもの。
中学では習わない第三の勢力。もともと火成岩や堆積岩であったために最も見分けが困難。

接触変成岩
深さ10~20キロメートルにあるマグマだまり周辺でしかつくられないために局所的。

①ホルンフェルス
元泥岩。
割れると角笛状(ホルン)の破片ができることにちなむ。
黒っぽい岩石で、見分けるポイントは表面に仄かに青い透明なビーズのような結晶(菫青石)があること。

②大理石(マーブル)
元石灰岩。結晶石灰岩ともいう。ウェディングドレスのように白く美しい。
炭酸カルシウムが結晶化して透明な方解石になったもの。
ちなみにマーブルチョコは表面を大理石のようにつるつるにコーティングしたから。

広域変成岩
海洋プレートの沈み込み帯でつくられるため広域で、厚さは数キロメートル、長さは数百~数千メートルにわたって大量生産される。
普通に考えて、そのまま地球の内部に沈んでいきそうだが、現在も地質学者を悩ます謎の浮上をして地表付近にアイルビーバックする。

片岩(クリスタライン・シスト)
ミルフィールのような薄い片理面がある広域変成岩。
全体的な特徴としてラメ状の細かなキラキラがある。

元玄武岩の広域変成岩
出世魚のように①→②もしくは①→③と変わっていく。

①緑泥石片岩(クロライト・シスト)
クロライトはギリシャ語で黄緑という意味。
400℃、深さ15キロメートルでできる。
シルバーの塗装をされたような岩石。
日本ではポピュラーな岩石で巨大なものもある。庭石としても人気。

②緑簾石片岩(エピドート・シスト)
緑泥石片岩がさらに沈み、450℃、深さ20キロメートルまで達すると作られる。
シルバーの表面がところどころ黄緑色に変色している岩石。

③藍閃片岩(ブルー・シスト)
緑泥石片岩が450℃、深さ30キロメートル以上(マントル突入)まで沈み込むと作られる。
青い。緑簾石片岩と同一温度、しかし圧力条件のみが異なるため、二つの岩石産地を比較することでマントルの速度や温度についての情報も調べることができる。
ブルーシスト.jpg
藍閃片岩の片理面。綺麗なミルフィール状。

元砂泥岩の広域変成岩
出世魚のように①→②→③→④と変わっていく。

①黒色片岩(ブラック・シスト)
粘板岩が400℃、深さ15キロで変化してできる。

②紅簾石片岩(ピーモンタイト)
石にもよるがほのかにピンク色。
黒色片岩が450℃、深さ20キロで変化してできる。

③雲母片岩(ツー・マイカ・シスト)
白雲母と黒雲母のふたつのマイカ(雲母)が同時に存在する岩石。
550℃、深さ20キロでできる。これは温度が高いと黒雲母が作られるため。

④黒雲母片麻岩(バイアタイト・ナイス)
片理が粗い物を片麻岩という。片麻岩はさらに高温な場所でできる。
雲母片岩の白雲母に含まれる水分が高熱によりぬけて、ほかの結晶内に注入、触媒作用を起こし融点を下げたことで、岩石の一部が溶けてしまった(つまり一部火成岩になっている)。白雲母はカリ長石に変化しみられない。
650℃以上でできる。
黒雲母片麻岩.jpg
黒雲母片麻岩の片理面。かなり粗挽き。

この世界の片隅に

 「面白い度☆☆☆ 好き度☆☆☆」

 警報もう飽きた。

 観る予定どころか、その存在すら知らなかったけど、最近(ネットだけで)やたらめったら超大絶賛されているから、高崎まで行って鑑賞したアニメ映画。ちなみに『アイアン・スカイ』みたいにクラウドファンディングで製作されたらしい。で、おれ見た。別にフツーだった。君ら大げさ。
 つーか、みんなが大絶賛するような作品って大きく2パターンあって、①そもそも作品のジャンルがニッチで好きな人しか見ないから見た人みんな絶賛ってパターン。オタクアニメの映画版に多い。と、②完成度はそつないくらいのレベルなんだけど、クチコミやらなんやらで、普段映画は見ないがそのために絶賛のハードルが低い人がたくさん見てくれて、結果的に大絶賛。の2パターンがあると思うんだけど、これはわりと①かな、と。

 今年ヒットした映画って『シン・ゴジラ』も『君の名は。』も、そしてこの映画もだけど、内容はないんだよね。情景のディティールが丁寧なだけで。 
 だからオタク映画のコンテキストが勝利した年なんだよな。どういうことかっていうと、オタクって例えば、登場人物の名前がみんな金属になっているぞ!とか(セーラームーンみたいだな)、爆弾のシーンはゴッホの絵画の『星月夜』を引用している!みたいなメタファーっていうか、そういうデータさえあれば満足なところがあってさ。勝手に深読みするからな。
 それはそれでいいんだろうけど、自分はオタクじゃないしね。データだけじゃ物足りないんだよね。作った人は何を言いたいんだろうっていうのがないとさ。
 この手の映画の絶賛がさすがにここまで続くと、なんというかていねいっていうジャンルを新設してもいいよな。

 ただ、この映画は扱っている時代が時代なだけに、ディティールだけっていうのがわりとうまくいったっていうかさ。史観とかイデオロギー的なの一切排除して、一貫して生活だけを描いているっていう。
 自分のおじいちゃんやおばあちゃんもこの世代だったけど、確かに戦争って言っても、日常がじゃあアクション映画みたくなるかっていうと違うわけで。
 結局は生活をしなきゃいけないわけで。それで、大変な思いをした人(おばあちゃん)もいれば、わりと生活に変化がなかったっていう人(おじいちゃん)もいたわけで。
 で、その当たり前の事実をアニメで丁寧に描いたわけだよね。だから、まあ、そりゃそうだよな。こんな感じだったんだろうな、と。暮らさないとなって。

 泣いたらもったいない。塩分が。

 なんかこの映画観て泣かない奴は非国民だとか言われそうだけどさ。別に泣かないよね。だって描いているのは生活だけだもん。そしてそれは戦時中でも平和な世の中でも大変なわけでさ。
 よく、宇宙飛行士がスペースシャトルで宇宙に行って、地球があまりにちっぽけなことを知っていろいろ悟っちゃってさ。「地球人よ仲良くしようよ」みたいな博愛主義者になって帰ってくるけど、「そんなこと言われてもさ」っていうのあるじゃん。全人類をスペースコロニーにでも移住させなきゃ共感できねえよっていう。
 なんかこの映画ってそんな違和感あるよね。「号泣した!」とか「戦争はよくない!」とか「当たり前の日常こそかけがえのないことが・・・」とか。でも繰り返すけど描いているのはあくまでも生活だからね。「フツーだった」って感想が一番ニュートラルだと思うよ。

 もっと言えばさ、戦中、戦後、高度成長、バブル、平成不況、グローバル化・・・どんな状況になっても、普通のままでいるっていうのは変わらないってことじゃないんだよね。矛盾しているのかもしれないけど、ここにとどまるためには走り続けねばならぬという。赤の女王やシュンペーターが言ってたやつで。
 めまぐるしく変わる時代の中で普通のままでいるっていう時点で、もう普通じゃないんだよ。
 自分もよく「お前は変わらないな」って言われること多いんだけど。でもそれは、大きな変化を防ぐために、細かな部分はかなり投げ売りっていうかプライド捨てちゃったところがあって。それにふと気づくと、ちょっと切ない気分にはなる。そこまでして守ってきたものは何なんだろうっていう。
 そんな自分とは比べ物にならないコペルニクス的転回&喪失を70年くらい前に田原総一朗さんなんかはしてきたと思うよ。あとゆうこりん。

数学科教育法覚え書き②

数学の4領域
中学校で習う数学の四天王的なジャンル。
Aは代数学、Bは幾何学、Cは解析学、Dは統計学に相当する。多分。

「A数と式」
数量の関係や法則などを文字を用いた式に表現したり、その意味を読み取ったりする能力を培う。
また、文字を用いた式で数量や数量の関係をとらえ説明できることや、目的に応じて簡単な式を変形したり、その意味を読み取ったりする能力を養い伸ばす。

第1学年
正負の数の定義と計算の仕方
絶対値
累乗
四則演算と数の集合(New!※群論の伏線!)
文字式の表し方と計算
交換法則、結合法則、分配法則
不等号(New!)
一次方程式

第2学年
多項式の計算
等式変形
連立方程式
連立方程式の利用

第3学年
乗法公式
因数分解
素数・素因数分解
平方根
有理数と無理数(数の概念の拡張)
二次方程式
二次方程式の解の公式(New!)

「B図形」
なんと中学一年生で球体を扱うようになった。

第1学年
線対称,点対称(小学校算数にも移行)
ねじれの位置
垂直二等分線の作図
角の二等分線の作図
弧と弦
おうぎ形
球の体積と表面積(New!高校から移行)
平行移動、対称移動及び回転移動
投影図
正多面体(プラトン立体)

第2学年
平行線と角
多角形と角
三角形の合同条件
三角形の合同の証明
二等辺三角形の性質
直角三角形の性質と合同条件
平行四辺形の性質と定理
平行線と面積(等積変形)

第3学年
三角形の相似条件
相似の証明
中点連結定理
相似な立体の面積比・体積比(New!高校から移行)
円周角と中心角
円周角の定理の逆
三平方の定理

「C関数」
比例と反比例は小学校の時点で結構ガッツリやるようになった。

第1学年
デカルト座標(直交座標)
関数の定義
比例と反比例

第2学年
一次関数
一次関数の利用

第3学年
関数Y=aX²(二次関数の伏線)
いろいろな事象と関数(New!高校から移行。ブレーキの制動距離など)

「D資料の活用」
脱ゆとりで統計学がまるまる追加された。何気にムズイ。

第1学年
度数分布表
ヒストグラム
代表値(平均、メジアン、モード)
分散
近似値
有効数字

第2学年
ラプラスの確率定義
統計的確率(大数の法則)

第3学年 
全数調査
標本調査
母集団

代数学覚え書き④

 雪江明彦先生「Nはナチュラルナンバーで自然数、Zはドイツ語のターレンで整数、Qはクオシェントで有理数、Rはリアルで実数、Cはコンプレクスで複素数の集合。」

 群論ってとにかく言葉がわかりづらい。つーかガロアの野郎わざとわかりづらく作りやがっただろ。そういうインテリふりかざすのいくない。だから隠れミッキー的に隠れトランプでてくる。
 まあ、こういうところって初学者は厳密性よりも大まかなイメージが重要だと思うので、用語の定義を代数の式で表すよりも、できる限りわかりやすい文章で自分なりに記述してみました。ギリシャ文字の羅列なんていきなり見てもクリプトグラフィーよ。

互換
数と数、文字と文字の位置を交換すること。

偶奇(パリティ)
偶数か奇数かという意味。パリティーピーポー。

奇置換
互換の回数が奇数回。

偶置換
互換の回数が偶数回。

対称群(シンメトリックグループ)
位置や順番を並び替える操作を元とする群のこと。前回の例題のやつ。

絶対解けないケンちゃんパズル
ルービックキューブや、ケンちゃんラーメン新発売のパズルも対称群である。
あの手のスライドパズル(マスが4×4のものを15パズルという)はかつて外国でサム・ロイドというパズル職人がこんな感じの問題を作って1000ドルの賞金を懸けたことがある。

ケンちゃんラーメン.jpg

この状態から1~15を並び直せ、つまり15と14を置換しろっていう問題なんだけど、結論から言って、このパズルは絶対解けない。
これを解くには①15と14だけを並び変えて、さらに②空きマスの位置をそのままにしなければならないが、①の互換は奇数回、②の互換は偶数回行わないといけないので、どうやっても同時にできないのである。
空きマスの位置をそのままにするのがなんで偶数回の互換なのかというと、結局数と数とを交換するには空きマスをスライドさせなければならず、もとの位置に戻すには行きと帰りで往復(×2)しなくてはならないから。

交代群(オルタネーティンググループ)
対称群Sの偶置換に当たる元全てで構成される部分群のこと。
ケンちゃんラーメンでわかったように位置をキープするの(恒等置換ι)も偶置換なので交代群Aの元になる。
また、置換は偶数回と奇数回の二種類あるので、置換の合計nのちょうど半分が交代群の元の数となる。ちなみに奇置換のグループは恒等置換ができないので単位元を持たず、そのため群の公理をクリアできず群とならない。
さらに、交代群のすべての元は、対称群の任意の元に作用させることができ、その順序についても左から作用させても右から作用させても演算結果がまったく変わらないため、交代群は対称群の正規部分群であることがわかる。

例題
具体的に4次の対称群S4の交代群の元を考えてみる。
4次というのは文字や数字が4つ並んでいるということなので、その置換のパターンは4×3×2×1で24通り。
このうち半分が偶置換なので、交代群の元の数は以下の12個。
①[1234]→[1234](ι)
②[1234]→[2134]→[3124](123)
③[1234]→[3214]→[2314](132)
④[1234]→[2134]→[4132](124)
⑤[1234]→[4231]→[2431](142)
⑥[1234]→[3214]→[4213](134)
⑦[1234]→[4231]→[3241](143)
⑧[1234]→[1324]→[1423](234)
⑨[1234]→[1432]→[1342](243)
⑩[1234]→[2134]→[2143](12)、(34)
⑪[1234]→[3214]→[3412](13)、(24)
⑫[1234]→[4231]→[4321](14)、(23)

巡回群(サイクリックグループ)
一種類の元から生成される群。
例えば元Aからできる巡回群Cn=〈A〉は
{A-n…A-3、A-2、A-1、e、A1、A2、A3…An}
となる。
ここで巡回群の任意の二つの元をX、Yとすると
X=Am、Y=An(m、nは整数)
となるので
X・Y=Am・An=Am+n・・・①
Y・X=An・Am=Am+n・・・②
①、②より
X・Y=Y・X
したがって巡回群は交換法則が成り立つアーベル群。

有限巡回群
なぜ一種類の元から生成される群を巡回群と呼ぶのかイマイチよくわからなかったが、巡回群の元の数が有限個の場合、その理由がわかる。
元の数が決まっている場合は、際限なく演算を繰り返すとどこかで元の重複が起こるはずである。ラインナップの種類が決まっているガチャガチャやカードダスを無限に引けば遅かれ早かれダブりが出るようなものである。
重複が起きたときの演算回数をm、n(どちらも整数)とすると
Am=An
両辺にA-nをかけると
Am-n=An-n
Am-n=e
となり、Aをm-n回演算すると一周して単位元eに戻ってくることがわかる。
これが巡回群の由来・・・だと思う。

クラインの4元群
ちなみに4次の対称群S4の交代群の元のうち、単位元eと以下の3つの元でできる部分群をクラインの4元群という。ポークの名前ではない。
①[1234]→[1234](ι)
②[1234]→[2134]→[2143](12)、(34)
③[1234]→[3214]→[3412](13)、(24)
④[1234]→[4231]→[4321](14)、(23)

特徴として②~④の操作をそれぞれ2回行うと最初の順番に戻る。
例えば①→②や②→①は②と同じ。
同様に
①→③、③→①の操作は③の操作と同じ。
①→④、④→①の操作は④の操作と同じ。
※よってクラインの4元群は正規部分群。
また
②→③、③→②の操作は④の操作と一緒。
②→④、④→②の操作は③の操作と一緒。
③→④、④→③の操作は②の操作と一緒。
クラインの4元群は巡回群を除くと最も小さな群であり、構造主義のレヴィ=ストロースが『親族の基本構造』で使ったことでも有名。

写像
ふたつの別の群G1とG2の元がある関数Φ(ファイ)によってリンクしているとき、その関係を写像という。
写像であるためには二つの条件がある。
条件①:G1の任意の元は必ずG2の元のどれかに対応する。
条件②:G1の任意のひとつの元は、G2の複数の元には対応しない。
※ただし超ややこしいけどその逆パターンはアリ。

単射
G1→G2の写像の際にG1の元がG2のたったひとつの元に対応していることをいう。
つまり1対1の関係。

全射
G1に属するすべての元がG2に写像されること。

同型写像
単射と全射を同時に満たす写像。

準同型写像
ある関数ΦがG1の元X1、Y1に作用するとき
Φ(X1Y1)=Φ(X1)Φ(Y1)=X2Y2
となるものを準同型写像という。
準同型写像はG1の元をG2の元、G1の単位元をG2の単位元に、G1の逆元をG2の逆元にそれぞれ送ってくれるため、群の構造を維持したまま別の群に移すという便利な性質があることが分かる。

核(カーネル)
式ではkerと表記される。「カーネル」とはフライドチキンではなくドイツ語で「コア」のこと。
G1→G2の写像の際にG2の単位元e2に写像されるG1の部分集合を指す。
ちなみに正規部分群は準同型写像の核である。

例題1
G1とG2を群、
e1とe2をそれぞれ単位元、
Φ:G1→G2を群の準同型写像、
準同型写像の核をKer(Φ)={g∈G1 |Φ(g)=e2}とする。
このとき、もしKer(Φ)={ e1 } ならばΦは単射であることを示せ。

そもそもG1→G2の写像の際にG2の単位元e2に写像されるG1の部分集合が核なので、G1の核がe1ならe1→e2なので、Φは単射。

例題2
Gをアーベル群、kを正の整数とするとき、次の写像Φは群の準同型写像であることを示せ。Φ:G→G1  Φ(g)=g^k

Φ(g)=g^k(kは整数)
Φ(g′)=g^l(lは整数)とすると
Φ(gg′)=g^(k+l)=g^k g^l=Φ(g)Φ(g′)
よって群の準同型写像である。

例題3
G1とG2を群、
e1とe2をそれぞれ単位元、
Φ:G1→G2を群の準同型写像、
準同型写像の核をKer(Φ)={g∈G1 |Φ(g)=e2}とする。
このとき、Ker(Φ)はG1の正規部分群であることを示せ。

まず、準同型写像ΦはG1の単位元をG2の単位元に移すので
Φ(e1)=e2
よってe1は準同型写像の核Ker(Φ)
e1∈Ker(Φ)・・・①(単位元がある)
と表せる。

X、YをKer(Φ)の任意の元とすると
G2の単位元e2に写像されるので
Φ(X)=Φ(Y)=e2
よって
Φ(XY)=Φ(X)Φ(Y)=e2e2
単位元同士を演算しても単位元のままなので
e2e2=e2
よって
XY∈Ker(Φ)・・・②(演算がとじる=ある群に属する元同士の演算結果もその群の元)

また、XをKer(Φ)の任意の元とすると
Φ(X)=e2なので
その逆元も
Φ(X-1)=e2^(-1)=e2
よって
X-1∈Ker(Φ)・・・③(逆元がある)

①~③よりKer(Φ)はG1の部分群の条件をクリアーする。

さらに、XをKer(Φ)の任意の元、gをG1の任意の元とすると
Φ(g X g-1)=Φ(g)Φ(X)Φ(g-1)
※Φ(X)=e2より
Φ(g)Φ(X)Φ(g-1)=Φ(g) e2 Φ(g-1)=Φ(g)Φ(g-1)=e2
よって、(gX g-1)∈Ker(Φ)

以上から、Ker(Φ)はG1の正規部分群である。

例題4
G1G2を群
Φ:G1→G2を群の準同型写像
核の写像先の値域(イミッジ)をIm(Φ)={Φ(g)|g∈G1}⊂G2
とする。
このときIm(Φ)はG2の部分群であることを示せ。

Φ(g)、Φ(g′)∈Im(Φ)とする。
Φ(g)Φ(g′)^-1=Φ(gg′^-1)∈Im(Φ)
よってIm(Φ)はG2の部分群である。

代数学覚え書き③

 いや~大統領選すごいね。トランプさんになっちゃったよ。もうあの二択だったら、THE既得権益のヒラリーさんよりは、イチかバチかのぱろぷんてカード(トランプ)を切っちゃうとは思ったんだけどね。
 政治学でよく取りざたされるイシューが、「政治を(プロから)市民の手に!」っていうやつなんだけど、そのテーゼが本当にどれほどのもんなのかが、世界最強の国で現実に確かめられるっていうのはかなり興味がある。
 あの人本当に素人だからな。好奇心で☢ボタン押されちゃたまったもんじゃないけど、これは何もアメリカに限ったことじゃなくて、世界中でこの手のポピュリスト政治家が国を動かす地位に就いているから、そう言う意味では情報社会の当然の流れなんかなって思うよ。
 有権者は難しい議論よりもプロレスの方が楽しいっていうね。もう一つがずいぶん前にブログでも書いたけど、生活という利権の問題だよね。ここを突かれると民衆っていうのはわりと力学的に動かされちゃうのかなって。ひとごとならともかく、自分の生活がかかっている苦しい立場の人が藁をもすがる思いでトランプさんを選んじゃった、選ぶ他なかったっていう、そんな流れだったんじゃないか。そういう人たちに対する想像力がエスタブリッシュメントやヒラリー陣営にはなかったのかもしれない。
 まあでもトランプさん、政治家ではないけどプロの実業家(と悪役レスラー)ではあるから、アメリカという企業を立て直せれば凄いけどな。そのへんで私が好きなサンダースさんよりも実行力はありそうというか。
 ただグローバルガバナンス的に、政府レベルで自由競争やっていいのかっていうのはあるけどな。前にレーガン大統領でそんなことなって地獄絵図だったらしいけど、もっと遡れば第二次世界大戦も自国経済さえなんとななりゃ知ったこっちゃねえやでブロック経済やって勃発したところあるしね。
 まあ、とりあえず、私は群論が難しすぎてそれどころじゃないっす。法律学もそうだったけど、まず専門用語がわかりづらいんだよね。つーか、あえてわからないように作ってるだろ。やりなおし!!

剰余類
群Gに含まれる部分群Hに該当するすべての要素hと、群Gの要素であるaを作用させたもの。
aHなら左剰余類。Haなら右剰余類。
剰余類.jpg
{}の中はaとhを作用させてて、hはHの要素だよということを示している。

ちなみに剰余類が作る
商集合.jpg
のような集合を商集合という。

正規部分群
剰余類において、hにaを左から作用させても、右から作用させても、結果がまったく変わらない場合、その部分群Hは正規部分群Nと呼ばれる。

剰余群
群Gにおける正規部分群Nの剰余類がつくる商集合G/Nがあったとき、その演算を(aN)(bN)=(ab)Nとすると、その商集合G/Nは群の公理をクリアーし群になる。これを剰余群という。

例題1
次の置換σの位数を求めよ。さらに剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。
σ=
[12345]
[42531]∈S5

この置換は
1は4に
2は2のままで
3は5に
4は3に
5は1に
変えていってね!というルールなので

σ1=[12345]→[42531]

σ2=[12345]→[42531]→[32154]

σ3=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]

σ4=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]
→[12345]

と4ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は4。

剰余群S5/〈σ〉の位数は
S5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので
120/4=30である。

例題2
次の置換σの位数を求めよ。さらに剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。
σ=
[12345]
[53214]∈S5

この置換は
1は5に
2は3に
3は2に
4は1に
5は4に
変えていってね!というルールなので

σ1=[12345]→[53214]

σ2=[12345]→[53214]→[42351]

σ3=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]

σ4=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]

σ5=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]→[43251]

σ6=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]→[43251]→[12345]

と6ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は6。

剰余群S5/〈σ〉の位数は
S5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので
120/6=20である。

例題3
3次対称群S3の部分群をすべて書き出し、正規部分群になるものとそうでないものに分類せよ。ちなみに対称群とは、ルービックキューブのように位置や順番を並び替える操作を元とする群のこと。

S3の元は
ι(イオタ。恒等置換)=[123]→[123]
σ1=[123]→[213]=(12)※動かした箇所
σ2=[123]→[321]=(13)
σ3=[123]→[132]=(23)
σ4=[123]→[231]=(123)※電光掲示板的に左ループ(1→2、2→3、3→1)
σ5=[123]→[312]=(132)※電光掲示板的に右ループ(1→3、3→2、2→1)
となる。

さてσ1の操作を2回するのと、σ2の操作を2回するのは、元に順番に戻るという意味で同じこと、という感じで
σ1²=σ2²=σ3²=ι
よって{ι、(12)}{ι、(13)}{ι、(23)}
は正規部分群(※恒等置換と等しい元と指数が2の元は正規部分群)。

同様に
σ4³=σ5³=ι
σ4²([123]→[231]→[312])=σ5([123]→[312])
σ5²([123]→[312]→[231])=σ4([123]→[231])
σ4σ5=σ5σ4=ι
より
{ι、(132)、(123)}も正規部分群。

またιとS3も定義上(どんな元を右から演算しても左から演算しても同じ)正規部分群。

したがってS3の正規部分群は
S3={ι、(12)、(13)、(23)、(123)、(132)}の6つ。
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