解析学覚え書き⑥

 お久しぶりです。10月ももう終わりですね。秋気肌にしみ、ご多忙のことと存じます。 私は『スター・トレック BEYOND』を観に行ってきました。前作に比べてホモ分が控えめでした(当社比)。
 しかし、『真田丸』見てても思うけど、時代の変わり目に生まれちゃった人って大変だよな。子どもの頃に前時代の価値観を教育されたのに、その価値観がもはや通用しない時代を大人になって生きなきゃいけなかったわけで。そういう葛藤や悲哀をやりたかったんだろうけど、やっぱり『真田丸』みたいな上手なドラマ見ちゃうと、この映画のイドリス・エルバさんももうちょっと上手く描けたんじゃないかなとは思う。前作の敵の存在感が非常に強烈だっただけにね。

 人を殺して生きるなら死んだほうがマシだ。そういう時代に生まれた。

合成関数の微分
複雑な式yをxで微分する場合は、その式を一度、ひとつの文字(例えばu)に置き換えてから、微分を行う。
しかしその場合は、yをuで微分したことになっちゃうのでuをさらにxで微分しなければならない。
そのためには、yをuで微分した答えと、uをxで微分した答えをかければ、uが消えてくれるので

合成関数の微分.jpg

となる。

例題
合成関数の微分①.jpg

合成関数の微分②.jpg

合成関数の微分③.jpg

分数の対数関数の微分
対数関数(分数)の微分.jpg

例題1
対数関数(分数)の微分①.jpg

例題2
対数関数(分数)の微分②.jpg

極方程式
極座標(原点からの距離rと角度θを表す座標)による方程式

r=cosθ

を直交座標に直す。

直交座標(普通の座標)では
①x(幅)=rcosθ
②y(高さ)=rsinθ
③x²+y²=r²(円の方程式)

なので

r=cosθの両辺にrをかけると
r²=rcosθ

①と③を代入して
x²+y²=x

移項して
x²-x+y²=0

x²-xの部分を平方完成して
(x-1/2)²+y²=1/4

この円の方程式は
x座標が1/2
y座標が0
r²=1/4なので半径rは1/2
の円を示す。

ロピタルの定理
ロピタルの定理.jpg

例題1
ロピタルの定理①.jpg

例題2
ロピタルの定理②.jpg

解析学覚え書き⑤

双曲線関数の逆関数
まずはこちらをご覧いただきたい。
双曲線関数.jpg
こんな感じの関数三兄弟を双曲線関数といい、三角関数のようにハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと名前がついている(ハイパボリックはハイ・パラボラで双曲線という意味)。
y=sinθとx=cosθの座標が半径1の円周上(x²+y²=1)の点に対応しているように、双曲線関数y=sinhθとx=coshθの座標は双曲線上(x²-y²=1)の点に対応している。また、計算上の性質も三角関数に似ている。
ちなみに、グラフの形自体は(サイン、コサインのグラフがパルス状で円形でないのと同様に)、両端を固定されたロープがたわんだような形で双曲線ではない。
さらに、双曲線関数はこんなふうに定義がいきなり出てくるんだけど、なんでこういう式になったかの証明は難関大学レベルらしいのでスルーの方向でお願いします。※オイラーの公式で出せるらしい。

ハイパボリックサインの逆関数
ハイパボリックサインの逆関.jpg

sinhxの逆関数.jpg

ハイパボリックコサインの逆関数
ハイパボリックコサインの逆.jpg

coshxの逆関数.jpg

ハイパボリックタンジェントの逆関数
tanhxの逆関数①.jpg

tanhxの逆関数②.jpg

tanhxの逆関数③.jpg

tanhxの逆関数④.jpg

解析学覚え書き④

対数微分法
対数は表現の仕方を変えた指数のこと。
いつもは底の右上に小さく控えている指数が、対数関数では方程式の左辺に陣取りメインキャストに昇格しており、右辺のロガリズム(log)を使ってその値を求められるようになっている。つまり対数関数は、指数関数の逆関数である。

まずは基本ルール。
logの微分.jpg

①底が変数で指数が定数の場合
対数微分法①.jpg

②底が定数で指数が変数の場合
対数微分法②.jpg

③どちらも変数の場合
対数微分法③.jpg

例題1
対数微分法例題①.jpg

例題2
対数微分法例題②.jpg

例題3
対数微分法例題③.jpg

解析学覚え書き③

逆三角関数の微分
解析学覚え書き①の復習コーナー。アークコセカントの微分の問題だけ通分がやたら面倒くさい。ケアレスミスを誘う、げに恐ろしき問題よ。

アークサインの微分
アークサインの微分.jpg
例題1
アークサインの微分①.jpg

例題2
アークサインの微分②.jpg

アークコサインの微分
コサインの微分と同様でアークサインの微分の符号を変えるだけ。
アークコサインの微分.jpg
例題
アークコサインの微分①.jpg

アークタンジェントの微分
アークタンジェントの微分.jpg
例題1
アークタンジェントの微分①.jpg

例題2
アークタンジェントの微分②.jpg

例題3
アークタンジェントの微分③.jpg

アークコセカントの微分
コセカントの逆関数はarccosecと言うのだろうか。なげえ!
アークコセカントの微分.jpg
例題
アークコセカントの微分①.jpg

解析学覚え書き②

三角関数の微分
まず半径=1の単位円上では
sinθはy/1でy(縦)
cosθはx/1でx(横)
tanθはy/xでグラフの傾きになる。

微分で求める導関数(二つの点の間隔を極限まで小さくして求めるグラフ)は円の接線になるので、θのグラフと導関数は直角でクロスすることになる(円の接線は円と垂直に接する)。

したがって三角比を微分するとサインとコサインの位置関係が90°ずれるので

sinθ′=cosθ
cosθ′=-sinθ(増減関係がcosθと逆だから)

さらに
-sinθ′=-cosθ
-cosθ′=sinθ
となり、4回微分すると90°×4で一周してくる。

ちなみにタンジェントの微分だけは図で説明しているテキストがなぜかなくて、サインとコサインは図で表すと割と簡単なんだからタンジェントも行けるだろ、と絵を描いて考えてみました。
確かにサインコサインに比べてちょっと面倒くさいんだけど、中学三年生の相似の知識で行けるし、私みたいなのはビジュアルがないときついのでレッツ正接。

タンジェントの微分①.jpg
まずタンジェントの微分(tanθ′)の位置を確認。タンジェントは単位円上では底辺1の直角三角形の高さを担当するので、赤い線のあそこになります。

△OABと△OCDは相似なので
OB:OD=OA:OC
1:X=cosθ:1
cosθX=1
X=1/cosθ
よって
OD=1/cosθ

次に図のD~D′のディファレンチエーションしてるところをクローズアップする。
タンジェントの微分②.jpg
最初の図の△OCDと、クローズアップした図の△DED′は相似なので
ODとDD′は対応している。
よって
OD=1/cosθから
DD′は1/cosθの微分
DD′=dθ/cosθ

さらに△OCD∽△DD′Fでもあるので
OD:DF=OC:DD′
1/cosθ:tanθ′=1:dθ/cosθ
tanθ′=(1/cosθ)×(dθ/cosθ)
tanθ′=dθ/cosθ²
よって
tanθ′=1/cosθ²

まとめ
sinθ′=cosθ
cosθ′=-sinθ
tanθ′=1/cosθ²


ちなみに
サインの逆数をコセカント(cosec)
コサインの逆数をセカント(sec)
タンジェントの逆数をコタンジェント(cot)

という。
よって
tanθ′=1/cosθ²=secθ²

また三平方の定理より
sinθ²+cosθ²=1
各項をcos²で割ると
sinθ²/cosθ²+cosθ²/cosθ²=1/ cosθ²
sinθ/cosθ=tanθより
tan θ²+1=1/ cosθ²

というわけで
tanθ′=tanθ ²+1
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