HEAVEN INSITE's Blog

　こんばんは。モジュラス攻略月間開催中です。でも今はあえて『真田丸』観ます。

モジュラス
まずはルールのおさらい。

X≡A (mod B)

これは、ある数をBで割ると、あまりはAという意味。
≡のマークは余りが同じである事を表す。

よって
X＝B×m＋A（mは整数）

例題１
x≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xをすべて求めよ。

x＝19m＋3 …①（mは整数）
x＝11n＋2 …②（nは整数）

①を②に代入して
19m＋3＝11n＋2

移項して

19m＝11n－1…③

左辺は19の倍数なので19、38・・・76（m＝４）
右辺は11の倍数なので11、22・・・77（n＝７）

m＝４、n＝７　がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
19×（４）＝11×（７）－１

なので
19(m－４)＝11(n－７)－1－（－1）

19(m－４)＝11(n－７)
となる。

さらに19と11は互いに素である（同時に割る数が１しかない）から、この等式を成り立たせるためには

m－4も11の倍数（nー7は19の倍数）だということになる。

したがって
m－4＝11k

移項して

m＝11k＋4（kは整数）…④

最後に④を①に代入して

x＝19m＋3
x＝19(11k＋4)＋3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x＝209k＋79（kは任意の整数）

例題２
x≡3(mod23)かつx≡2(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x＝23m＋3 …①（mは整数）
x＝14n＋2 …②（nは整数）

①を②に代入して
23m＋3＝14n＋2

移項して

23m＝14n－1…③

左辺は23の倍数なので23、46・・・69（m＝３）
右辺は14の倍数なので14、28・・・70（n＝５）

m＝３、n＝５　がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
23×（３）＝14×（５）－１

なので
23(m－３)＝14(n－５)－1－（－1）

23(m－３)＝14(n－５)
となる。

さらに23と14は互いに素である（同時に割る数が１しかない）から

m－３も14の倍数。

したがって
m－３＝14k

移項して

m＝14k＋３（kは整数）…④

最後に④を①に代入して

x＝23m＋3
x＝23(14k＋３)＋3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x＝322k＋72（kは任意の整数）

例題３
x≡４(mod23)かつx≡２(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x＝23m＋４（mは整数）…①
x＝14n＋２（nは整数）…②

①を②に代入して
23m＋４＝14n＋２

23m＝14n－２…③

左辺は23の倍数なので23、46、69…138（m＝6）
右辺は14の倍数なので14、28、42…140（n＝10）

m＝６、n＝10　がとりあえず該当する。

よって
23×（６）＝14×（10）－２

なので
23(m－６)＝14(n－10)－２－（－２）

23(m－６)＝14(n－10)
となる。

さらに23と14は互いに素である（同時に割る数が１しかない）から

m－６も14の倍数。

したがって
m－６＝14k

移項して
m＝14k＋６

m＝14k＋６（kは整数）…④

最後に④を①に代入して
x＝23m+４
x＝23(14k＋６)+4
x＝322k＋142

したがってx≡2(mod23)かつx≡３(mod14)を満たす整数xは

x＝322k＋142（kは任意の整数）

　あまり文量がなかったので、日本史をまとめる時に割愛しちゃった部分。ここら辺の時代はチャイナの文献で間接的にしかわからないところが多いよね。

旧石器時代の概要（～紀元前１万年）
更新世の地球は氷河時代だったため、海面水位は今よりも低く日本列島はユーラシア大陸と陸続きだった。そのため北（サハリンルート）からマンモスやヘラジカ、南（朝鮮ルート）からナウマンゾウやオオツノジカ、ニホンサイが日本に渡り、このような大型の動物を追って３万年ほど前に日本にやって来たのが私たちのご先祖である。彼らは、尖頭器や細石器（小型のタイプ）といった打製石器によって大型の動物をハンティングしていた。
かつては日本には旧石器時代（打製石器の時代）は存在しないと考えられていたが、群馬県岩宿遺跡の発掘によりやっぱりあったことがわかっている。

縄文時代の概要（紀元前１万年～）
完新世に入り氷河時代が終わると日本列島は大陸と分断され大型の動物は絶滅、人々はニホンシカやイノシシといった小回りのきく中型動物を捕らえるようになった。
また氷河が溶けたことによる海面の上昇で入江が増えたため、漁も行われるようになった。この時代の貝塚は、当時の人々が貝を食べていたことを示している。
さらに縄文時代では４～６世帯30人ほどの集落を作って日当たりの良い台地に定住するようになり、掘りごたつのようなタイプの竪穴式住居が建設された。集落間で交易も行っていたらしい。
縄文時代の三大発明は、磨製石器、弓矢、土器である。
また、自然物や自然現象の全てに霊威が宿るというアニミズムを信仰していた。芸術では妊娠した女性のような土偶や、ちんこ的な石棒が発掘されている。ちなみに、のび太の日本誕生に出てくるようなタイプは遮光器土偶という。

弥生時代の概要（紀元前４世紀～紀元後３世紀）
紀元前6000年あたりに中国で始まった農耕（稲作）は縄文時代の終わりごろに九州北部に伝わった。やがて北海道と南西諸島以外のすべての場所で行われるようになり、収穫物は高床倉庫や貯蔵穴に保存された。
弥生時代の特徴は、水稲技術、金属器（青銅器や鉄器、銅鐸など）、磨製石器、弥生土器で、弥生時代という名称は東京都の本郷弥生町で土器が発掘されたことにちなむ。
住居は竪穴式住居の他、平地式住居も作られるようになった。
また余剰生産物をめぐる集落間の争いが勃発、周囲を濠で囲んだ環濠集落（佐賀県吉野ケ里遺跡）や、山頂に作った高地性集落（香川県紫雲出山＝しうでやま遺跡）といった、排他的な集落も誕生した。
集落の付近には共同墓地もあった。死者は木製や石製の柩に体を伸ばした状態で入れられた。墓のグレードは弥生時代後期になるとかなり大規模な墳丘墓となり、人々に身分の差があったことを物語っている。
紀元前１世紀の『漢書』地理史によると、当時の日本（倭）の社会は豪族をトップに100あまりの国に分かれていたという。『後漢書』東夷伝には、起源57年、倭の奴国（福岡県）の王の使者が、後漢の首都（洛陽）を訪問、光武帝から金印を授かったという記述がある。

邪馬台国の概要（３世紀）
後漢は220年に滅び、中国は三国志の時代になる。『魏志』倭人伝によると、２世紀の終わりごろに起きた大規模な諸国間の騒乱を邪馬台国の卑弥呼がおさめ、30国あまりの小国連合ができたという。邪馬台国は身分社会で、租税や刑罰の制度もあった。
卑弥呼は魏の皇帝から親魏倭王の称号や、銅鏡、金印紫綬（金色のスタンプと紫色の紐のセット。色でランク分けされている）などを贈られている。
そんなカリスマ呪い師の卑弥呼が247年に亡くなると、男性の王が跡を継いだが国内はおさまらず、卑弥呼の同族の女性（壱与）が新たな王になると国内は再び収まった。壱与はまだ16だから。
邪馬台国の所在地は、近畿説と九州説がある。もし近畿にあったとすると九州から近畿までの広域な連合体制が存在したことになり、後のヤマト政権の前身だということになる。

古墳時代の概要（３世紀後半～７世紀）
西日本を中心に古墳が次々と作られた時代。
初期の古墳には埋葬施設の形式や銅鏡といった副葬品など共通点があり、広域な連合政権があったことがわかる。この連合政権は、最大規模の古墳（箸墓古墳）があった近畿地方大和（奈良県）からヤマト政権と呼ばれている（カタカナなのは大和という表記が見られるのが８世紀以降であるため）。
ヤマト政権がまだ緩やかな政治連合体制だった古墳時代初期の古墳は、そのほとんどが円墳や方墳で（しかし巨大なものはいずれも前方後円墳）、その上には埴輪が並べられた。
また、285年には中国から漢字が伝わっている。
４世紀末になると、ヤマト政権は高句麗との戦いを有利にするため宋（※南朝の方）に朝貢をはじめ、大王（のちの天皇）をトップとして地方豪族を服属させていたことが、『宋書』倭国伝でわかっている。
古墳時代中期（５世紀）の古墳でとりわけ有名なのが、大阪府にある日本最大の古墳大仙陵古墳である。
６世紀初期になるとヤマト政権の政治体制はさらに強力になり、大王は各地の豪族を氏という組織に取り込み、ヤマト政権の職務を分担で行わせた（氏姓制度）。
538年には百済から仏教が伝わっている。
６世紀～７世紀初めの古墳時代後期になると、大王の支配体制は確立し、その権力を誇示する必要がなくなったために巨大な古墳が作られることは少なくなった。
この時代には、人物や動物を形をした形象埴輪が作られ、石室（埋葬施設のこと）の形も朝鮮半島のタイプ（横穴式石室）が一般化した。また墓室に壁画が書かれた装飾古墳も現れた。
古墳時代の土器は、弥生土器に似た赤褐色の土師器（はじき）や、灰色で硬い須恵器（すえき）が作られた。

　試験やばいっす。
　カルチャーの日に『インフェルノ』とか観てる場合じゃなかった…しかも、だんだん美術関係なくなってきてるし(^_^;)つーかルネサンス文化がよくわからなくなってきました。あの黒幕は、「愚かな人類よ思い知れ」的にバイオテロやろうとしたけど、やっぱ一回中世的な暗黒時代があってのルネサンス到来（人間万歳）を目論んでいたのだろうか。
　というか、奴らの言い分なら現代は充分暗黒時代なんじゃねーかって気もするんだけど(^_^;)テロいらなくね？みたな。
　頭でっかちに考えちゃうと、この世の中なんて不条理極まりないんだから絶対絶望しかねえよっていうのは『スター・トレック イントゥ・ダークネス』の記事で書いたけどね。
　ネットのつぶやきも個人レベルでは机上の空論だし無力だけど、合計すれば莫大なエネルギーだからね。悲観論をどいつもこいつもがつぶやき倒すと、その影響で本当に世の中が暗くなるというか、「生きるの辛い」という先入観やイメージをみんなに植え付けちゃうっていうのはあるしな。
　ザッカーバーグとかが認めてるようにネットって自動化されたプロパガンダ装置なんだよな。もはや強制する必要はないという。飼い犬が自分から首輪つけてくれるんだから世話ねえよっていう。
　まあ逆にノーラン監督とかピンカーとか「大丈夫大丈夫いけるいける」っていう楽観論もちょっと無責任感じるけどな。難しいのう。
　私は、ちょっと日々のことで精一杯で地球とか国際社会とか政治とか経済とか皇室とか考える余裕がないっす。どうでもいいよっていうと怒られるけど、真剣に考えたら考えたで「特定の思想を流布・・・」とか言われるもんね。どっちなんだよっていうw

　真夜中まで一分だ。

正多面体が５種類しかない理由
正多面体は頂点にくっつく面の数がどこも等しく、また全ての面が同じ形（正多角形）になっている立体。プラトン立体とも言う。
以下の項目ごとに、なんで５種類しか作れないかを考察する。

①頂点に集まる辺の数
３本以上ないと面がくっつき厚みが出せない。

②頂点に集まる角度の大きさ
当たり前だが360°未満じゃないと面が重なってくっつかない。

③面の形
正６角形だと隙間なく敷き詰められちゃうので折り曲げられない。
よって面の形は正３角形～正５角形に限定される。

※面が正５角形の場合
内角一つあたりの大きさは108°なので②の縛りより、ひとつの頂点に３つの面がくっつく場合のみ→正12面体

※面が正方形の場合
内角一つあたりの大きさは90°なので②の縛りより、ひとつの頂点に３つの面がくっつく場合のみ→正６面体

※面が正三角形の場合
内角一つあたりの大きさは60°なので、ひとつの頂点に３つ～５つの面がくっつく。
３つの面の場合→正４面体
４つの面の場合→正８面体
５つの面の場合→正20面体

よって正多面体は５種類しかできない。

√２が無理数である理由

まず有理数と無理数の定義をおさらいする。

有理数
mを整数、nを０でない整数としたとき、分数m／nで表せる数を有理数とする。
無限小数や循環小数もテクニックで分数にできる。

無理数
円周率や√２のように永遠に不規則な数が続く小数で、分数に表せない数を無理数という。

中学校で習う数はすべて有理数か無理数のどちらかなので√２が無理数であることを証明するには、背理法を使って「√２が有理数でない」ことを証明してもよい。

√２が有理数ならば必ずm／nの既約分数（これ以上約分できない分数）の形に表せるので
√２＝m／n

両辺を２乗すると
２＝m²／n²

２n²＝m²・・・①

m²は２の倍数＝偶数なので
mも偶数となり

m＝２k・・・②

②を①に代入すると

２n²＝（２k）²
２n²＝４k²
n²＝２k²

n＝２k・・・③
となり、nも２の倍数＝偶数であることがわかる。

すると、②③より、m／nは既約分数で表せないということになるので、矛盾が生じる。
よって√２は有理数ではない→√２は無理数

　お久しぶりです。10月ももう終わりですね。秋気肌にしみ、ご多忙のことと存じます。 私は『スター・トレック BEYOND』を観に行ってきました。前作に比べてホモ分が控えめでした（当社比）。
　しかし、『真田丸』見てても思うけど、時代の変わり目に生まれちゃった人って大変だよな。子どもの頃に前時代の価値観を教育されたのに、その価値観がもはや通用しない時代を大人になって生きなきゃいけなかったわけで。そういう葛藤や悲哀をやりたかったんだろうけど、やっぱり『真田丸』みたいな上手なドラマ見ちゃうと、この映画のイドリス・エルバさんももうちょっと上手く描けたんじゃないかなとは思う。前作の敵の存在感が非常に強烈だっただけにね。

　人を殺して生きるなら死んだほうがマシだ。そういう時代に生まれた。

合成関数の微分
複雑な式yをxで微分する場合は、その式を一度、ひとつの文字（例えばu）に置き換えてから、微分を行う。
しかしその場合は、yをuで微分したことになっちゃうのでuをさらにxで微分しなければならない。
そのためには、yをuで微分した答えと、uをxで微分した答えをかければ、uが消えてくれるので



となる。

例題






分数の対数関数の微分


例題１


例題２


極方程式
極座標（原点からの距離rと角度θを表す座標）による方程式

r＝cosθ

を直交座標に直す。

直交座標（普通の座標）では
①x（幅）＝rcosθ
②y（高さ）=rsinθ
③x²+y²＝r²（円の方程式）
なので

r＝cosθの両辺にrをかけると
r²＝rcosθ

①と③を代入して
x²＋y²＝x

移項して
x²－x＋y²＝０

x²－xの部分を平方完成して
（x－１／２）²＋y²＝１／４

この円の方程式は
x座標が１／２
y座標が０
r²＝１／４なので半径rは１／２
の円を示す。

ロピタルの定理


例題１


例題２

双曲線関数の逆関数
まずはこちらをご覧いただきたい。

こんな感じの関数三兄弟を双曲線関数といい、三角関数のようにハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと名前がついている（ハイパボリックはハイ・パラボラで双曲線という意味）。
y＝sinθとx＝cosθの座標が半径１の円周上（x²＋y²＝１）の点に対応しているように、双曲線関数y＝sinhθとx＝coshθの座標は双曲線上（x²－y²＝１）の点に対応している。また、計算上の性質も三角関数に似ている。
ちなみに、グラフの形自体は（サイン、コサインのグラフがパルス状で円形でないのと同様に）、両端を固定されたロープがたわんだような形で双曲線ではない。
さらに、双曲線関数はこんなふうに定義がいきなり出てくるんだけど、なんでこういう式になったかの証明は難関大学レベルらしいのでスルーの方向でお願いします。※オイラーの公式で出せるらしい。

ハイパボリックサインの逆関数




ハイパボリックコサインの逆関数




ハイパボリックタンジェントの逆関数