古代日本史覚え書き

 あまり文量がなかったので、日本史をまとめる時に割愛しちゃった部分。ここら辺の時代はチャイナの文献で間接的にしかわからないところが多いよね。

旧石器時代の概要(~紀元前1万年)
更新世の地球は氷河時代だったため、海面水位は今よりも低く日本列島はユーラシア大陸と陸続きだった。そのため北(サハリンルート)からマンモスやヘラジカ、南(朝鮮ルート)からナウマンゾウやオオツノジカ、ニホンサイが日本に渡り、このような大型の動物を追って3万年ほど前に日本にやって来たのが私たちのご先祖である。彼らは、尖頭器や細石器(小型のタイプ)といった打製石器によって大型の動物をハンティングしていた。
かつては日本には旧石器時代(打製石器の時代)は存在しないと考えられていたが、群馬県岩宿遺跡の発掘によりやっぱりあったことがわかっている。

縄文時代の概要(紀元前1万年~)
完新世に入り氷河時代が終わると日本列島は大陸と分断され大型の動物は絶滅、人々はニホンシカやイノシシといった小回りのきく中型動物を捕らえるようになった。
また氷河が溶けたことによる海面の上昇で入江が増えたため、漁も行われるようになった。この時代の貝塚は、当時の人々が貝を食べていたことを示している。
さらに縄文時代では4~6世帯30人ほどの集落を作って日当たりの良い台地に定住するようになり、掘りごたつのようなタイプの竪穴式住居が建設された。集落間で交易も行っていたらしい。
縄文時代の三大発明は、磨製石器、弓矢、土器である。
また、自然物や自然現象の全てに霊威が宿るというアニミズムを信仰していた。芸術では妊娠した女性のような土偶や、ちんこ的な石棒が発掘されている。ちなみに、のび太の日本誕生に出てくるようなタイプは遮光器土偶という。

弥生時代の概要(紀元前4世紀~紀元後3世紀)
紀元前6000年あたりに中国で始まった農耕(稲作)は縄文時代の終わりごろに九州北部に伝わった。やがて北海道と南西諸島以外のすべての場所で行われるようになり、収穫物は高床倉庫や貯蔵穴に保存された。
弥生時代の特徴は、水稲技術、金属器(青銅器や鉄器、銅鐸など)、磨製石器、弥生土器で、弥生時代という名称は東京都の本郷弥生町で土器が発掘されたことにちなむ。
住居は竪穴式住居の他、平地式住居も作られるようになった。
また余剰生産物をめぐる集落間の争いが勃発、周囲を濠で囲んだ環濠集落(佐賀県吉野ケ里遺跡)や、山頂に作った高地性集落(香川県紫雲出山=しうでやま遺跡)といった、排他的な集落も誕生した。
集落の付近には共同墓地もあった。死者は木製や石製の柩に体を伸ばした状態で入れられた。墓のグレードは弥生時代後期になるとかなり大規模な墳丘墓となり、人々に身分の差があったことを物語っている。
紀元前1世紀の『漢書』地理史によると、当時の日本(倭)の社会は豪族をトップに100あまりの国に分かれていたという。『後漢書』東夷伝には、起源57年、倭の奴国(福岡県)の王の使者が、後漢の首都(洛陽)を訪問、光武帝から金印を授かったという記述がある。

邪馬台国の概要(3世紀)
後漢は220年に滅び、中国は三国志の時代になる。『魏志』倭人伝によると、2世紀の終わりごろに起きた大規模な諸国間の騒乱を邪馬台国の卑弥呼がおさめ、30国あまりの小国連合ができたという。邪馬台国は身分社会で、租税や刑罰の制度もあった。
卑弥呼は魏の皇帝から親魏倭王の称号や、銅鏡、金印紫綬(金色のスタンプと紫色の紐のセット。色でランク分けされている)などを贈られている。
そんなカリスマ呪い師の卑弥呼が247年に亡くなると、男性の王が跡を継いだが国内はおさまらず、卑弥呼の同族の女性(壱与)が新たな王になると国内は再び収まった。壱与はまだ16だから。
邪馬台国の所在地は、近畿説と九州説がある。もし近畿にあったとすると九州から近畿までの広域な連合体制が存在したことになり、後のヤマト政権の前身だということになる。

古墳時代の概要(3世紀後半~7世紀)
西日本を中心に古墳が次々と作られた時代。
初期の古墳には埋葬施設の形式や銅鏡といった副葬品など共通点があり、広域な連合政権があったことがわかる。この連合政権は、最大規模の古墳(箸墓古墳)があった近畿地方大和(奈良県)からヤマト政権と呼ばれている(カタカナなのは大和という表記が見られるのが8世紀以降であるため)。
ヤマト政権がまだ緩やかな政治連合体制だった古墳時代初期の古墳は、そのほとんどが円墳や方墳で(しかし巨大なものはいずれも前方後円墳)、その上には埴輪が並べられた。
また、285年には中国から漢字が伝わっている。
4世紀末になると、ヤマト政権は高句麗との戦いを有利にするため宋(※南朝の方)に朝貢をはじめ、大王(のちの天皇)をトップとして地方豪族を服属させていたことが、『宋書』倭国伝でわかっている。
古墳時代中期(5世紀)の古墳でとりわけ有名なのが、大阪府にある日本最大の古墳大仙陵古墳である。
6世紀初期になるとヤマト政権の政治体制はさらに強力になり、大王は各地の豪族を氏という組織に取り込み、ヤマト政権の職務を分担で行わせた(氏姓制度)。
538年には百済から仏教が伝わっている。
6世紀~7世紀初めの古墳時代後期になると、大王の支配体制は確立し、その権力を誇示する必要がなくなったために巨大な古墳が作られることは少なくなった。
この時代には、人物や動物を形をした形象埴輪が作られ、石室(埋葬施設のこと)の形も朝鮮半島のタイプ(横穴式石室)が一般化した。また墓室に壁画が書かれた装飾古墳も現れた。
古墳時代の土器は、弥生土器に似た赤褐色の土師器(はじき)や、灰色で硬い須恵器(すえき)が作られた。

数学科教育法覚え書き①

 試験やばいっす。
 カルチャーの日に『インフェルノ』とか観てる場合じゃなかった…しかも、だんだん美術関係なくなってきてるし(^_^;)つーかルネサンス文化がよくわからなくなってきました。あの黒幕は、「愚かな人類よ思い知れ」的にバイオテロやろうとしたけど、やっぱ一回中世的な暗黒時代があってのルネサンス到来(人間万歳)を目論んでいたのだろうか。
 というか、奴らの言い分なら現代は充分暗黒時代なんじゃねーかって気もするんだけど(^_^;)テロいらなくね?みたな。
 頭でっかちに考えちゃうと、この世の中なんて不条理極まりないんだから絶対絶望しかねえよっていうのは『スター・トレック イントゥ・ダークネス』の記事で書いたけどね。
 ネットのつぶやきも個人レベルでは机上の空論だし無力だけど、合計すれば莫大なエネルギーだからね。悲観論をどいつもこいつもがつぶやき倒すと、その影響で本当に世の中が暗くなるというか、「生きるの辛い」という先入観やイメージをみんなに植え付けちゃうっていうのはあるしな。
 ザッカーバーグとかが認めてるようにネットって自動化されたプロパガンダ装置なんだよな。もはや強制する必要はないという。飼い犬が自分から首輪つけてくれるんだから世話ねえよっていう。
 まあ逆にノーラン監督とかピンカーとか「大丈夫大丈夫いけるいける」っていう楽観論もちょっと無責任感じるけどな。難しいのう。
 私は、ちょっと日々のことで精一杯で地球とか国際社会とか政治とか経済とか皇室とか考える余裕がないっす。どうでもいいよっていうと怒られるけど、真剣に考えたら考えたで「特定の思想を流布・・・」とか言われるもんね。どっちなんだよっていうw

 真夜中まで一分だ。

正多面体が5種類しかない理由
正多面体は頂点にくっつく面の数がどこも等しく、また全ての面が同じ形(正多角形)になっている立体。プラトン立体とも言う。
以下の項目ごとに、なんで5種類しか作れないかを考察する。

①頂点に集まる辺の数
3本以上ないと面がくっつき厚みが出せない。

②頂点に集まる角度の大きさ
当たり前だが360°未満じゃないと面が重なってくっつかない。

③面の形
正6角形だと隙間なく敷き詰められちゃうので折り曲げられない。
よって面の形は正3角形~正5角形に限定される。

※面が正5角形の場合
内角一つあたりの大きさは108°なので②の縛りより、ひとつの頂点に3つの面がくっつく場合のみ→正12面体

※面が正方形の場合
内角一つあたりの大きさは90°なので②の縛りより、ひとつの頂点に3つの面がくっつく場合のみ→正6面体

※面が正三角形の場合
内角一つあたりの大きさは60°なので、ひとつの頂点に3つ~5つの面がくっつく。
3つの面の場合→正4面体
4つの面の場合→正8面体
5つの面の場合→正20面体

よって正多面体は5種類しかできない。

√2が無理数である理由

まず有理数と無理数の定義をおさらいする。

有理数
mを整数、nを0でない整数としたとき、分数m/nで表せる数を有理数とする。
無限小数や循環小数もテクニックで分数にできる。

無理数
円周率や√2のように永遠に不規則な数が続く小数で、分数に表せない数を無理数という。

中学校で習う数はすべて有理数か無理数のどちらかなので√2が無理数であることを証明するには、背理法を使って「√2が有理数でない」ことを証明してもよい。

√2が有理数ならば必ずm/nの既約分数(これ以上約分できない分数)の形に表せるので
√2=m/n

両辺を2乗すると
2=m²/n²

2n²=m²・・・①

m²は2の倍数=偶数なので
mも偶数となり

m=2k・・・②

②を①に代入すると

2n²=(2k)²
2n²=4k²
n²=2k²

n=2k・・・③
となり、nも2の倍数=偶数であることがわかる。

すると、②③より、m/nは既約分数で表せないということになるので、矛盾が生じる。
よって√2は有理数ではない→√2は無理数

解析学覚え書き⑥

 お久しぶりです。10月ももう終わりですね。秋気肌にしみ、ご多忙のことと存じます。 私は『スター・トレック BEYOND』を観に行ってきました。前作に比べてホモ分が控えめでした(当社比)。
 しかし、『真田丸』見てても思うけど、時代の変わり目に生まれちゃった人って大変だよな。子どもの頃に前時代の価値観を教育されたのに、その価値観がもはや通用しない時代を大人になって生きなきゃいけなかったわけで。そういう葛藤や悲哀をやりたかったんだろうけど、やっぱり『真田丸』みたいな上手なドラマ見ちゃうと、この映画のイドリス・エルバさんももうちょっと上手く描けたんじゃないかなとは思う。前作の敵の存在感が非常に強烈だっただけにね。

 人を殺して生きるなら死んだほうがマシだ。そういう時代に生まれた。

合成関数の微分
複雑な式yをxで微分する場合は、その式を一度、ひとつの文字(例えばu)に置き換えてから、微分を行う。
しかしその場合は、yをuで微分したことになっちゃうのでuをさらにxで微分しなければならない。
そのためには、yをuで微分した答えと、uをxで微分した答えをかければ、uが消えてくれるので

合成関数の微分.jpg

となる。

例題
合成関数の微分①.jpg

合成関数の微分②.jpg

合成関数の微分③.jpg

分数の対数関数の微分
対数関数(分数)の微分.jpg

例題1
対数関数(分数)の微分①.jpg

例題2
対数関数(分数)の微分②.jpg

極方程式
極座標(原点からの距離rと角度θを表す座標)による方程式

r=cosθ

を直交座標に直す。

直交座標(普通の座標)では
①x(幅)=rcosθ
②y(高さ)=rsinθ
③x²+y²=r²(円の方程式)

なので

r=cosθの両辺にrをかけると
r²=rcosθ

①と③を代入して
x²+y²=x

移項して
x²-x+y²=0

x²-xの部分を平方完成して
(x-1/2)²+y²=1/4

この円の方程式は
x座標が1/2
y座標が0
r²=1/4なので半径rは1/2
の円を示す。

ロピタルの定理
ロピタルの定理.jpg

例題1
ロピタルの定理①.jpg

例題2
ロピタルの定理②.jpg

解析学覚え書き⑤

双曲線関数の逆関数
まずはこちらをご覧いただきたい。
双曲線関数.jpg
こんな感じの関数三兄弟を双曲線関数といい、三角関数のようにハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン、ハイパボリックタンジェントと名前がついている(ハイパボリックはハイ・パラボラで双曲線という意味)。
y=sinθとx=cosθの座標が半径1の円周上(x²+y²=1)の点に対応しているように、双曲線関数y=sinhθとx=coshθの座標は双曲線上(x²-y²=1)の点に対応している。また、計算上の性質も三角関数に似ている。
ちなみに、グラフの形自体は(サイン、コサインのグラフがパルス状で円形でないのと同様に)、両端を固定されたロープがたわんだような形で双曲線ではない。
さらに、双曲線関数はこんなふうに定義がいきなり出てくるんだけど、なんでこういう式になったかの証明は難関大学レベルらしいのでスルーの方向でお願いします。※オイラーの公式で出せるらしい。

ハイパボリックサインの逆関数
ハイパボリックサインの逆関.jpg

sinhxの逆関数.jpg

ハイパボリックコサインの逆関数
ハイパボリックコサインの逆.jpg

coshxの逆関数.jpg

ハイパボリックタンジェントの逆関数
tanhxの逆関数①.jpg

tanhxの逆関数②.jpg

tanhxの逆関数③.jpg

tanhxの逆関数④.jpg

解析学覚え書き④

対数微分法
対数は表現の仕方を変えた指数のこと。
いつもは底の右上に小さく控えている指数が、対数関数では方程式の左辺に陣取りメインキャストに昇格しており、右辺のロガリズム(log)を使ってその値を求められるようになっている。つまり対数関数は、指数関数の逆関数である。

まずは基本ルール。
logの微分.jpg

①底が変数で指数が定数の場合
対数微分法①.jpg

②底が定数で指数が変数の場合
対数微分法②.jpg

③どちらも変数の場合
対数微分法③.jpg

例題1
対数微分法例題①.jpg

例題2
対数微分法例題②.jpg

例題3
対数微分法例題③.jpg
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