数学科教育法覚え書き②

数学の4領域
中学校で習う数学の四天王的なジャンル。
Aは代数学、Bは幾何学、Cは解析学、Dは統計学に相当する。多分。

「A数と式」
数量の関係や法則などを文字を用いた式に表現したり、その意味を読み取ったりする能力を培う。
また、文字を用いた式で数量や数量の関係をとらえ説明できることや、目的に応じて簡単な式を変形したり、その意味を読み取ったりする能力を養い伸ばす。

第1学年
正負の数の定義と計算の仕方
絶対値
累乗
四則演算と数の集合(New!※群論の伏線!)
文字式の表し方と計算
交換法則、結合法則、分配法則
不等号(New!)
一次方程式

第2学年
多項式の計算
等式変形
連立方程式
連立方程式の利用

第3学年
乗法公式
因数分解
素数・素因数分解
平方根
有理数と無理数(数の概念の拡張)
二次方程式
二次方程式の解の公式(New!)

「B図形」
なんと中学一年生で球体を扱うようになった。

第1学年
線対称,点対称(小学校算数にも移行)
ねじれの位置
垂直二等分線の作図
角の二等分線の作図
弧と弦
おうぎ形
球の体積と表面積(New!高校から移行)
平行移動、対称移動及び回転移動
投影図
正多面体(プラトン立体)

第2学年
平行線と角
多角形と角
三角形の合同条件
三角形の合同の証明
二等辺三角形の性質
直角三角形の性質と合同条件
平行四辺形の性質と定理
平行線と面積(等積変形)

第3学年
三角形の相似条件
相似の証明
中点連結定理
相似な立体の面積比・体積比(New!高校から移行)
円周角と中心角
円周角の定理の逆
三平方の定理

「C関数」
比例と反比例は小学校の時点で結構ガッツリやるようになった。

第1学年
デカルト座標(直交座標)
関数の定義
比例と反比例

第2学年
一次関数
一次関数の利用

第3学年
関数Y=aX²(二次関数の伏線)
いろいろな事象と関数(New!高校から移行。ブレーキの制動距離など)

「D資料の活用」
脱ゆとりで統計学がまるまる追加された。何気にムズイ。

第1学年
度数分布表
ヒストグラム
代表値(平均、メジアン、モード)
分散
近似値
有効数字

第2学年
ラプラスの確率定義
統計的確率(大数の法則)

第3学年 
全数調査
標本調査
母集団

代数学覚え書き④

 雪江明彦先生「Nはナチュラルナンバーで自然数、Zはドイツ語のターレンで整数、Qはクオシェントで有理数、Rはリアルで実数、Cはコンプレクスで複素数の集合。」

 群論ってとにかく言葉がわかりづらい。つーかガロアの野郎わざとわかりづらく作りやがっただろ。そういうインテリふりかざすのいくない。だから隠れミッキー的に隠れトランプでてくる。
 まあ、こういうところって初学者は厳密性よりも大まかなイメージが重要だと思うので、用語の定義を代数の式で表すよりも、できる限りわかりやすい文章で自分なりに記述してみました。ギリシャ文字の羅列なんていきなり見てもクリプトグラフィーよ。

互換
数と数、文字と文字の位置を交換すること。

偶奇(パリティ)
偶数か奇数かという意味。パリティーピーポー。

奇置換
互換の回数が奇数回。

偶置換
互換の回数が偶数回。

対称群(シンメトリックグループ)
位置や順番を並び替える操作を元とする群のこと。前回の例題のやつ。

絶対解けないケンちゃんパズル
ルービックキューブや、ケンちゃんラーメン新発売のパズルも対称群である。
あの手のスライドパズル(マスが4×4のものを15パズルという)はかつて外国でサム・ロイドというパズル職人がこんな感じの問題を作って1000ドルの賞金を懸けたことがある。

ケンちゃんラーメン.jpg

この状態から1~15を並び直せ、つまり15と14を置換しろっていう問題なんだけど、結論から言って、このパズルは絶対解けない。
これを解くには①15と14だけを並び変えて、さらに②空きマスの位置をそのままにしなければならないが、①の互換は奇数回、②の互換は偶数回行わないといけないので、どうやっても同時にできないのである。
空きマスの位置をそのままにするのがなんで偶数回の互換なのかというと、結局数と数とを交換するには空きマスをスライドさせなければならず、もとの位置に戻すには行きと帰りで往復(×2)しなくてはならないから。

交代群(オルタネーティンググループ)
対称群Sの偶置換に当たる元全てで構成される部分群のこと。
ケンちゃんラーメンでわかったように位置をキープするの(恒等置換ι)も偶置換なので交代群Aの元になる。
また、置換は偶数回と奇数回の二種類あるので、置換の合計nのちょうど半分が交代群の元の数となる。ちなみに奇置換のグループは恒等置換ができないので単位元を持たず、そのため群の公理をクリアできず群とならない。
さらに、交代群のすべての元は、対称群の任意の元に作用させることができ、その順序についても左から作用させても右から作用させても演算結果がまったく変わらないため、交代群は対称群の正規部分群であることがわかる。

例題
具体的に4次の対称群S4の交代群の元を考えてみる。
4次というのは文字や数字が4つ並んでいるということなので、その置換のパターンは4×3×2×1で24通り。
このうち半分が偶置換なので、交代群の元の数は以下の12個。
①[1234]→[1234](ι)
②[1234]→[2134]→[3124](123)
③[1234]→[3214]→[2314](132)
④[1234]→[2134]→[4132](124)
⑤[1234]→[4231]→[2431](142)
⑥[1234]→[3214]→[4213](134)
⑦[1234]→[4231]→[3241](143)
⑧[1234]→[1324]→[1423](234)
⑨[1234]→[1432]→[1342](243)
⑩[1234]→[2134]→[2143](12)、(34)
⑪[1234]→[3214]→[3412](13)、(24)
⑫[1234]→[4231]→[4321](14)、(23)

巡回群(サイクリックグループ)
一種類の元から生成される群。
例えば元Aからできる巡回群Cn=〈A〉は
{A-n…A-3、A-2、A-1、e、A1、A2、A3…An}
となる。
ここで巡回群の任意の二つの元をX、Yとすると
X=Am、Y=An(m、nは整数)
となるので
X・Y=Am・An=Am+n・・・①
Y・X=An・Am=Am+n・・・②
①、②より
X・Y=Y・X
したがって巡回群は交換法則が成り立つアーベル群。

有限巡回群
なぜ一種類の元から生成される群を巡回群と呼ぶのかイマイチよくわからなかったが、巡回群の元の数が有限個の場合、その理由がわかる。
元の数が決まっている場合は、際限なく演算を繰り返すとどこかで元の重複が起こるはずである。ラインナップの種類が決まっているガチャガチャやカードダスを無限に引けば遅かれ早かれダブりが出るようなものである。
重複が起きたときの演算回数をm、n(どちらも整数)とすると
Am=An
両辺にA-nをかけると
Am-n=An-n
Am-n=e
となり、Aをm-n回演算すると一周して単位元eに戻ってくることがわかる。
これが巡回群の由来・・・だと思う。

クラインの4元群
ちなみに4次の対称群S4の交代群の元のうち、単位元eと以下の3つの元でできる部分群をクラインの4元群という。ポークの名前ではない。
①[1234]→[1234](ι)
②[1234]→[2134]→[2143](12)、(34)
③[1234]→[3214]→[3412](13)、(24)
④[1234]→[4231]→[4321](14)、(23)

特徴として②~④の操作をそれぞれ2回行うと最初の順番に戻る。
例えば①→②や②→①は②と同じ。
同様に
①→③、③→①の操作は③の操作と同じ。
①→④、④→①の操作は④の操作と同じ。
※よってクラインの4元群は正規部分群。
また
②→③、③→②の操作は④の操作と一緒。
②→④、④→②の操作は③の操作と一緒。
③→④、④→③の操作は②の操作と一緒。
クラインの4元群は巡回群を除くと最も小さな群であり、構造主義のレヴィ=ストロースが『親族の基本構造』で使ったことでも有名。

写像
ふたつの別の群G1とG2の元がある関数Φ(ファイ)によってリンクしているとき、その関係を写像という。
写像であるためには二つの条件がある。
条件①:G1の任意の元は必ずG2の元のどれかに対応する。
条件②:G1の任意のひとつの元は、G2の複数の元には対応しない。
※ただし超ややこしいけどその逆パターンはアリ。

単射
G1→G2の写像の際にG1の元がG2のたったひとつの元に対応していることをいう。
つまり1対1の関係。

全射
G1に属するすべての元がG2に写像されること。

同型写像
単射と全射を同時に満たす写像。

準同型写像
ある関数ΦがG1の元X1、Y1に作用するとき
Φ(X1Y1)=Φ(X1)Φ(Y1)=X2Y2
となるものを準同型写像という。
準同型写像はG1の元をG2の元、G1の単位元をG2の単位元に、G1の逆元をG2の逆元にそれぞれ送ってくれるため、群の構造を維持したまま別の群に移すという便利な性質があることが分かる。

核(カーネル)
式ではkerと表記される。「カーネル」とはフライドチキンではなくドイツ語で「コア」のこと。
G1→G2の写像の際にG2の単位元e2に写像されるG1の部分集合を指す。
ちなみに正規部分群は準同型写像の核である。

例題1
G1とG2を群、
e1とe2をそれぞれ単位元、
Φ:G1→G2を群の準同型写像、
準同型写像の核をKer(Φ)={g∈G1 |Φ(g)=e2}とする。
このとき、もしKer(Φ)={ e1 } ならばΦは単射であることを示せ。

そもそもG1→G2の写像の際にG2の単位元e2に写像されるG1の部分集合が核なので、G1の核がe1ならe1→e2なので、Φは単射。

例題2
Gをアーベル群、kを正の整数とするとき、次の写像Φは群の準同型写像であることを示せ。Φ:G→G1  Φ(g)=g^k

Φ(g)=g^k(kは整数)
Φ(g′)=g^l(lは整数)とすると
Φ(gg′)=g^(k+l)=g^k g^l=Φ(g)Φ(g′)
よって群の準同型写像である。

例題3
G1とG2を群、
e1とe2をそれぞれ単位元、
Φ:G1→G2を群の準同型写像、
準同型写像の核をKer(Φ)={g∈G1 |Φ(g)=e2}とする。
このとき、Ker(Φ)はG1の正規部分群であることを示せ。

まず、準同型写像ΦはG1の単位元をG2の単位元に移すので
Φ(e1)=e2
よってe1は準同型写像の核Ker(Φ)
e1∈Ker(Φ)・・・①(単位元がある)
と表せる。

X、YをKer(Φ)の任意の元とすると
G2の単位元e2に写像されるので
Φ(X)=Φ(Y)=e2
よって
Φ(XY)=Φ(X)Φ(Y)=e2e2
単位元同士を演算しても単位元のままなので
e2e2=e2
よって
XY∈Ker(Φ)・・・②(演算がとじる=ある群に属する元同士の演算結果もその群の元)

また、XをKer(Φ)の任意の元とすると
Φ(X)=e2なので
その逆元も
Φ(X-1)=e2^(-1)=e2
よって
X-1∈Ker(Φ)・・・③(逆元がある)

①~③よりKer(Φ)はG1の部分群の条件をクリアーする。

さらに、XをKer(Φ)の任意の元、gをG1の任意の元とすると
Φ(g X g-1)=Φ(g)Φ(X)Φ(g-1)
※Φ(X)=e2より
Φ(g)Φ(X)Φ(g-1)=Φ(g) e2 Φ(g-1)=Φ(g)Φ(g-1)=e2
よって、(gX g-1)∈Ker(Φ)

以上から、Ker(Φ)はG1の正規部分群である。

例題4
G1G2を群
Φ:G1→G2を群の準同型写像
核の写像先の値域(イミッジ)をIm(Φ)={Φ(g)|g∈G1}⊂G2
とする。
このときIm(Φ)はG2の部分群であることを示せ。

Φ(g)、Φ(g′)∈Im(Φ)とする。
Φ(g)Φ(g′)^-1=Φ(gg′^-1)∈Im(Φ)
よってIm(Φ)はG2の部分群である。

代数学覚え書き③

 いや~大統領選すごいね。トランプさんになっちゃったよ。もうあの二択だったら、THE既得権益のヒラリーさんよりは、イチかバチかのぱろぷんてカード(トランプ)を切っちゃうとは思ったんだけどね。
 政治学でよく取りざたされるイシューが、「政治を(プロから)市民の手に!」っていうやつなんだけど、そのテーゼが本当にどれほどのもんなのかが、世界最強の国で現実に確かめられるっていうのはかなり興味がある。
 あの人本当に素人だからな。好奇心で☢ボタン押されちゃたまったもんじゃないけど、これは何もアメリカに限ったことじゃなくて、世界中でこの手のポピュリスト政治家が国を動かす地位に就いているから、そう言う意味では情報社会の当然の流れなんかなって思うよ。
 有権者は難しい議論よりもプロレスの方が楽しいっていうね。もう一つがずいぶん前にブログでも書いたけど、生活という利権の問題だよね。ここを突かれると民衆っていうのはわりと力学的に動かされちゃうのかなって。ひとごとならともかく、自分の生活がかかっている苦しい立場の人が藁をもすがる思いでトランプさんを選んじゃった、選ぶ他なかったっていう、そんな流れだったんじゃないか。そういう人たちに対する想像力がエスタブリッシュメントやヒラリー陣営にはなかったのかもしれない。
 まあでもトランプさん、政治家ではないけどプロの実業家(と悪役レスラー)ではあるから、アメリカという企業を立て直せれば凄いけどな。そのへんで私が好きなサンダースさんよりも実行力はありそうというか。
 ただグローバルガバナンス的に、政府レベルで自由競争やっていいのかっていうのはあるけどな。前にレーガン大統領でそんなことなって地獄絵図だったらしいけど、もっと遡れば第二次世界大戦も自国経済さえなんとななりゃ知ったこっちゃねえやでブロック経済やって勃発したところあるしね。
 まあ、とりあえず、私は群論が難しすぎてそれどころじゃないっす。法律学もそうだったけど、まず専門用語がわかりづらいんだよね。つーか、あえてわからないように作ってるだろ。やりなおし!!

剰余類
群Gに含まれる部分群Hに該当するすべての要素hと、群Gの要素であるaを作用させたもの。
aHなら左剰余類。Haなら右剰余類。
剰余類.jpg
{}の中はaとhを作用させてて、hはHの要素だよということを示している。

ちなみに剰余類が作る
商集合.jpg
のような集合を商集合という。

正規部分群
剰余類において、hにaを左から作用させても、右から作用させても、結果がまったく変わらない場合、その部分群Hは正規部分群Nと呼ばれる。

剰余群
群Gにおける正規部分群Nの剰余類がつくる商集合G/Nがあったとき、その演算を(aN)(bN)=(ab)Nとすると、その商集合G/Nは群の公理をクリアーし群になる。これを剰余群という。

例題1
次の置換σの位数を求めよ。さらに剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。
σ=
[12345]
[42531]∈S5

この置換は
1は4に
2は2のままで
3は5に
4は3に
5は1に
変えていってね!というルールなので

σ1=[12345]→[42531]

σ2=[12345]→[42531]→[32154]

σ3=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]

σ4=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]
→[12345]

と4ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は4。

剰余群S5/〈σ〉の位数は
S5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので
120/4=30である。

例題2
次の置換σの位数を求めよ。さらに剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。
σ=
[12345]
[53214]∈S5

この置換は
1は5に
2は3に
3は2に
4は1に
5は4に
変えていってね!というルールなので

σ1=[12345]→[53214]

σ2=[12345]→[53214]→[42351]

σ3=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]

σ4=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]

σ5=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]→[43251]

σ6=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]
→[52314]→[43251]→[12345]

と6ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は6。

剰余群S5/〈σ〉の位数は
S5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので
120/6=20である。

例題3
3次対称群S3の部分群をすべて書き出し、正規部分群になるものとそうでないものに分類せよ。ちなみに対称群とは、ルービックキューブのように位置や順番を並び替える操作を元とする群のこと。

S3の元は
ι(イオタ。恒等置換)=[123]→[123]
σ1=[123]→[213]=(12)※動かした箇所
σ2=[123]→[321]=(13)
σ3=[123]→[132]=(23)
σ4=[123]→[231]=(123)※電光掲示板的に左ループ(1→2、2→3、3→1)
σ5=[123]→[312]=(132)※電光掲示板的に右ループ(1→3、3→2、2→1)
となる。

さてσ1の操作を2回するのと、σ2の操作を2回するのは、元に順番に戻るという意味で同じこと、という感じで
σ1²=σ2²=σ3²=ι
よって{ι、(12)}{ι、(13)}{ι、(23)}
は正規部分群(※恒等置換と等しい元と指数が2の元は正規部分群)。

同様に
σ4³=σ5³=ι
σ4²([123]→[231]→[312])=σ5([123]→[312])
σ5²([123]→[312]→[231])=σ4([123]→[231])
σ4σ5=σ5σ4=ι
より
{ι、(132)、(123)}も正規部分群。

またιとS3も定義上(どんな元を右から演算しても左から演算しても同じ)正規部分群。

したがってS3の正規部分群は
S3={ι、(12)、(13)、(23)、(123)、(132)}の6つ。

代数学覚え書き②

 こんばんは。モジュラス攻略月間開催中です。でも今はあえて『真田丸』観ます。

モジュラス
まずはルールのおさらい。

X≡A (mod B)

これは、ある数をBで割ると、あまりはAという意味。
≡のマークは余りが同じである事を表す。

よって
X=B×m+A(mは整数)

例題1
x≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=19m+3 …①(mは整数)
x=11n+2 …②(nは整数)


①を②に代入して
19m+3=11n+2

移項して

19m=11n-1…③

左辺は19の倍数なので19、38・・・76(m=4)
右辺は11の倍数なので11、22・・・77(n=7)

m=4、n=7 がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
19×(4)=11×(7)-1

なので
19(m-4)=11(n-7)-1-(-1)

19(m-4)=11(n-7)
となる。

さらに19と11は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から、この等式を成り立たせるためには

m-4も11の倍数(nー7は19の倍数)だということになる。

したがって
m-4=11k

移項して

m=11k+4(kは整数)…④

最後に④を①に代入して

x=19m+3
x=19(11k+4)+3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x=209k+79(kは任意の整数)

例題2
x≡3(mod23)かつx≡2(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=23m+3 …①(mは整数)
x=14n+2 …②(nは整数)


①を②に代入して
23m+3=14n+2

移項して

23m=14n-1…③

左辺は23の倍数なので23、46・・・69(m=3)
右辺は14の倍数なので14、28・・・70(n=5)

m=3、n=5 がとりあえず答えの一つとして該当する。

よって
23×(3)=14×(5)-1

なので
23(m-3)=14(n-5)-1-(-1)

23(m-3)=14(n-5)
となる。

さらに23と14は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から

m-3も14の倍数。

したがって
m-3=14k

移項して

m=14k+3(kは整数)…④

最後に④を①に代入して

x=23m+3
x=23(14k+3)+3

したがってx≡3(mod19)かつx≡2(mod11)を満たす整数xは

x=322k+72(kは任意の整数)

例題3
x≡4(mod23)かつx≡2(mod14)を満たす整数xをすべて求めよ。

x=23m+4(mは整数)…①
x=14n+2(nは整数)…②


①を②に代入して
23m+4=14n+2

23m=14n-2…③

左辺は23の倍数なので23、46、69…138(m=6)
右辺は14の倍数なので14、28、42…140(n=10)

m=6、n=10 がとりあえず該当する。

よって
23×(6)=14×(10)-2

なので
23(m-6)=14(n-10)-2-(-2)

23(m-6)=14(n-10)
となる。

さらに23と14は互いに素である(同時に割る数が1しかない)から

m-6も14の倍数。

したがって
m-6=14k

移項して
m=14k+6

m=14k+6(kは整数)…④

最後に④を①に代入して
x=23m+4
x=23(14k+6)+4
x=322k+142

したがってx≡2(mod23)かつx≡3(mod14)を満たす整数xは

x=322k+142(kは任意の整数)

古代日本史覚え書き

 あまり文量がなかったので、日本史をまとめる時に割愛しちゃった部分。ここら辺の時代はチャイナの文献で間接的にしかわからないところが多いよね。

旧石器時代の概要(~紀元前1万年)
更新世の地球は氷河時代だったため、海面水位は今よりも低く日本列島はユーラシア大陸と陸続きだった。そのため北(サハリンルート)からマンモスやヘラジカ、南(朝鮮ルート)からナウマンゾウやオオツノジカ、ニホンサイが日本に渡り、このような大型の動物を追って3万年ほど前に日本にやって来たのが私たちのご先祖である。彼らは、尖頭器や細石器(小型のタイプ)といった打製石器によって大型の動物をハンティングしていた。
かつては日本には旧石器時代(打製石器の時代)は存在しないと考えられていたが、群馬県岩宿遺跡の発掘によりやっぱりあったことがわかっている。

縄文時代の概要(紀元前1万年~)
完新世に入り氷河時代が終わると日本列島は大陸と分断され大型の動物は絶滅、人々はニホンシカやイノシシといった小回りのきく中型動物を捕らえるようになった。
また氷河が溶けたことによる海面の上昇で入江が増えたため、漁も行われるようになった。この時代の貝塚は、当時の人々が貝を食べていたことを示している。
さらに縄文時代では4~6世帯30人ほどの集落を作って日当たりの良い台地に定住するようになり、掘りごたつのようなタイプの竪穴式住居が建設された。集落間で交易も行っていたらしい。
縄文時代の三大発明は、磨製石器、弓矢、土器である。
また、自然物や自然現象の全てに霊威が宿るというアニミズムを信仰していた。芸術では妊娠した女性のような土偶や、ちんこ的な石棒が発掘されている。ちなみに、のび太の日本誕生に出てくるようなタイプは遮光器土偶という。

弥生時代の概要(紀元前4世紀~紀元後3世紀)
紀元前6000年あたりに中国で始まった農耕(稲作)は縄文時代の終わりごろに九州北部に伝わった。やがて北海道と南西諸島以外のすべての場所で行われるようになり、収穫物は高床倉庫や貯蔵穴に保存された。
弥生時代の特徴は、水稲技術、金属器(青銅器や鉄器、銅鐸など)、磨製石器、弥生土器で、弥生時代という名称は東京都の本郷弥生町で土器が発掘されたことにちなむ。
住居は竪穴式住居の他、平地式住居も作られるようになった。
また余剰生産物をめぐる集落間の争いが勃発、周囲を濠で囲んだ環濠集落(佐賀県吉野ケ里遺跡)や、山頂に作った高地性集落(香川県紫雲出山=しうでやま遺跡)といった、排他的な集落も誕生した。
集落の付近には共同墓地もあった。死者は木製や石製の柩に体を伸ばした状態で入れられた。墓のグレードは弥生時代後期になるとかなり大規模な墳丘墓となり、人々に身分の差があったことを物語っている。
紀元前1世紀の『漢書』地理史によると、当時の日本(倭)の社会は豪族をトップに100あまりの国に分かれていたという。『後漢書』東夷伝には、起源57年、倭の奴国(福岡県)の王の使者が、後漢の首都(洛陽)を訪問、光武帝から金印を授かったという記述がある。

邪馬台国の概要(3世紀)
後漢は220年に滅び、中国は三国志の時代になる。『魏志』倭人伝によると、2世紀の終わりごろに起きた大規模な諸国間の騒乱を邪馬台国の卑弥呼がおさめ、30国あまりの小国連合ができたという。邪馬台国は身分社会で、租税や刑罰の制度もあった。
卑弥呼は魏の皇帝から親魏倭王の称号や、銅鏡、金印紫綬(金色のスタンプと紫色の紐のセット。色でランク分けされている)などを贈られている。
そんなカリスマ呪い師の卑弥呼が247年に亡くなると、男性の王が跡を継いだが国内はおさまらず、卑弥呼の同族の女性(壱与)が新たな王になると国内は再び収まった。壱与はまだ16だから。
邪馬台国の所在地は、近畿説と九州説がある。もし近畿にあったとすると九州から近畿までの広域な連合体制が存在したことになり、後のヤマト政権の前身だということになる。

古墳時代の概要(3世紀後半~7世紀)
西日本を中心に古墳が次々と作られた時代。
初期の古墳には埋葬施設の形式や銅鏡といった副葬品など共通点があり、広域な連合政権があったことがわかる。この連合政権は、最大規模の古墳(箸墓古墳)があった近畿地方大和(奈良県)からヤマト政権と呼ばれている(カタカナなのは大和という表記が見られるのが8世紀以降であるため)。
ヤマト政権がまだ緩やかな政治連合体制だった古墳時代初期の古墳は、そのほとんどが円墳や方墳で(しかし巨大なものはいずれも前方後円墳)、その上には埴輪が並べられた。
また、285年には中国から漢字が伝わっている。
4世紀末になると、ヤマト政権は高句麗との戦いを有利にするため宋(※南朝の方)に朝貢をはじめ、大王(のちの天皇)をトップとして地方豪族を服属させていたことが、『宋書』倭国伝でわかっている。
古墳時代中期(5世紀)の古墳でとりわけ有名なのが、大阪府にある日本最大の古墳大仙陵古墳である。
6世紀初期になるとヤマト政権の政治体制はさらに強力になり、大王は各地の豪族を氏という組織に取り込み、ヤマト政権の職務を分担で行わせた(氏姓制度)。
538年には百済から仏教が伝わっている。
6世紀~7世紀初めの古墳時代後期になると、大王の支配体制は確立し、その権力を誇示する必要がなくなったために巨大な古墳が作られることは少なくなった。
この時代には、人物や動物を形をした形象埴輪が作られ、石室(埋葬施設のこと)の形も朝鮮半島のタイプ(横穴式石室)が一般化した。また墓室に壁画が書かれた装飾古墳も現れた。
古墳時代の土器は、弥生土器に似た赤褐色の土師器(はじき)や、灰色で硬い須恵器(すえき)が作られた。
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