代数学覚え書き①

 出た群論。
 数学は正直なところ全部難しいけど、とりわけこの分野の難易度が突出している。なんつー初見キラーテキスト。英語の教科書かってくらい数字が出てこない。式がオールアルファベット。
 まあ代数っていうくらいだから、具体的な数を抽象化して文字式にして、その演算の規則性自体をメタ的に分析、証明、比較してるんだろうけど、個人的には数字自体が抽象的でメタなものだから、それをさらにメタで記述していて、メタメタのギタギタだぜジャイアンっていう。

 ここまでくると、ホントに哲学に合流だよね。だから、記述の仕方が独特なだけで、おそらく記述のルールさえわかれば、これって論理学とかと近いんだよな。ここら辺から、いよいよ知能指数が高いやつしかついていけなくなるってのもわかる。
 実際、この前たまたま高校で数学を教えている先生と話す機会があったんだけど、大学で習う数学なんてまったくわからないって言ってたんだよ。
 高校までの数学は、所詮はひらめきパズルゲームだったけど、大学からの数学は学問だからアプローチが全然違うっていう。そこまで断絶してるのかっていう。

 しかしさ、数学ができる、できないってほんと程度問題に過ぎないと思うよ。スポーツの世界が草野球とか部活動とかのアマチュアから始まって、セミプロ、プロ、トップアスリートと直線的につながっているのと一緒で、数学ができるって自負のある人も、際限なくレベルを上げてけばどこかで脱落はするんだと思うんだよ。そのトップにワイルズとかペレルマンとかがいるんだろうけれど。
 だから、自分から見て数学できるって思う理学部出てるような人も、決して自分の数学力におごることがないもんね。「いやいや、あっしなんてまだまだです」みたいに言うけれど、なるほど、数学は同一競技のスポーツの世界に似てるんだなって。
 スタートラインがみんな全く同じな分、はっきり序列がついちゃうんだっていう。もちろん専門分野はあるとは思うんだけどね。

参考文献:木村 達雄, 竹内 光弘, 宮本 雅彦, 森田 純 共著『代数の魅力』


「むれ」じゃなくて「ぐん」と読むらしい。
グループのGで表す。

要素(元)
グループのメンバーのこと。xやyが群Gの要素であるときはx,y∈Gと表す。

位数
ある群の要素の数を位数という。
位数が有限である場合は有限群、無限にある場合は無限群(桁がいくらでも増やせる整数=Zなど)という。

可換群(アーベル群)
A×B=B×Aのような交換法則が成り立つ演算のグループのこと。
五次以上の方程式の解の公式は存在しないという証明をガロアに先駆けてみつけたアーベルにちなむ。ちなみにこの証明は、大学の代数学の講義ではラスボスに君臨する。

二項演算
1×2=2など、二つの要素を一つの要素にするような演算。
A*B=C

単位元
二項演算の群において、演算結果に影響を与えない要素(元)のこと。
例えば足し算の0や、掛け算の1がわかりやすい。
アイデンティティ・エレメントということでeで表す。(自然対数や電荷とは関係なし!)

逆元
もとの元と演算すると、答えが単位元になる元のこと。
Aの逆元をBとすると
AB=BA=e
このときのBはAの-1乗みたいに表すが、別にAを-1乗しているわけではない(ややこしい!)。

群の公理
群を成立させる四つの定義のようなもの。
①要素どうしで一意的な演算が成り立ち、その演算の集合も群として成り立つ。
②要素どうしの演算で結合法則が成り立つ。
③単位元がある。
④逆元がある。


自明な部分群
群の公理によれば、どんな群も群としての構造Gと、単位元eは持っているはずである。
つまり、群である以上それが内包する部分的な群で最も大きなものはG、最も小さいものは単位元だけの群{e}で、このふたつを自明な部分群という。

mod(モジュラス)
ガウスが考案した「~~を法として合同」と言うときに使う記号。ブッダ的で全く意味がわからない。
具体的に言うと、あるふたつの整数AとBがあったとき、BがAをnで割った時のあまりだった場合
A≡B(mod n)と記述する。
もっと、具体的に言うと、1が101を100で割った時にあまりなら
101≡1(mod 100)
この時101は100を法として1と合同と言う。

フェルマーの小定理
nが素数であるとき、1、2、3・・・・n-1までの数の、どれか好きな数ひとつを(n-1)回かけて、それをnで割ると、余りは必ず1になる。

可換群の証明問題
Gを群とする。任意のx,y∈Gに対して、(xy)^2=(x^2)(y^2) が成り立つならばGは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

x,y∈Gとは、xとyはGというグループの要素だという意味
可換群とはA×B=B×Aのような交換法則が成り立つ演算のグループのこと。

(xy)^2=(x^2)(y^2)
(xy)(xy)=xxyy
乗法の結合法則より
x(yx)y = xxyy

ここで、もとの元と計算したら単位元eになるを逆元という。
Aの逆元をBとすると
AB=BA=e
また、乗法の単位元は1である。

xの逆元x^(-1)を掛けて
x^(-1)x(yx)y = x^(-1)xxyy
(x^(-1)x)(yx)y = (x^(-1)x)xyy
1・(yx)y = 1・xyy

次にyの逆元y^(-1)を掛けて
(yx)yy^(-1) = xyyy^(-1)
(yx)(yy^(-1)) = xy(yy^(-1))
yx ・1= xy・1
yx=xy

したがって群Gで(xy)^2=x^2・y^2が成り立てば、Gは可換群である。

群の公理の確認問題
G=R-{-1}とし、その演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。

G=R-{-1}は、実数Rのグループから-1だけを除いたグループのこと。

(1)集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。
すなわち、a,b∈Gなら、その演算a*b∈Gとなることを示せ。

演算a*bはa+b+ab
=(a+1)(b+1)ー1
a、bをー1ではない実数とすると
(a+1)(b+1)≠0
よって
(a+1)(b+1)ー1≠-1
a+b+ab≠ー1
a、b∈Gならばa*b∈G

(2)(G,*)は群になることを求めよ。
群の公理である以下の3つを検証する。
①結合法則の成立
②単位元の存在
③逆元の存在


a、b、c∈Gとすると
a*(b*c)
=a*(b+c+bc)
=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)
=a+b+c+bc+ab+ac+abc
=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c
=(a*b)*c
よって結合法則が成り立つ。


単位元は二項演算の群において、演算結果に影響を与えない元のことなので、単位元はすべての元に対し
e*x=x=x*e

a*e=aとすると
a+e+ae=a
にならなければならないため
e(1+a)=0
e=0

よって
群Gにおける任意の元、a∈Gにおいて
a*0=a+0+a×0=a
というわけで
0∈GがGの単位元として存在する。


任意のa∈Gに対して
a+a^(-1)+a・a^(-1)=0
となるa^(-1)を求める。
a^(-1)をxとすると
a+x+ax=0
x+ax=-a
(1+a)x=-a
x=-a/(1+a)

a*{-a/(1+a)}
=a+{-a/(1+a)}+a{-a/(1+a)}
=0

また
{-a/(1+a)}*a
={-a/(1+a)}+a{-a/(1+a)}×a
=0

よって、ーa/(1+a)∈Gはaの逆元
また、a≠ー1なので、ーa/(1+a)の分母は0にならず(※)ーa/(1+a)∈G

(※)÷0=無限で、無限は実数のグループに含まれないために一応確認

①②③より(G,*)は群である。

(3)3*x*2=5を満たすx∈Gを求めよ。
実際に演算を計算してみる。
3*x*2
=(3*x)*2
=(3+x+3x)*2
=(3+x+3x)+2+(3+x+3x)×2
=12x+11
12x+11=5なので
方程式を解いて
x=-1/2

正多角形の二面体群の問題
正三角形の二面対群D6の自明でない部分群をすべて求めよ。

二面体群D(ダイヒドラル・グループ)とは、正n角形における対称変換(図形の見た目がビフォーアフターで全く変わらない回転や反転のこと)の群のこと。

正三角形の対称変換は、元の位置のまま何も動かさない恒等変換eと、元の位置から120°回転させたr、その位置からさらに120°回転(合計240°回転)させたr^2、3つの鏡映(線対称=反転のこと)s1、s2、s3の計6つある。

この6つの対称変換のそれぞれの積を考えると、例えば、s1→s2の二回の変換は結局r2と等しく、s3→s2の変換はrに、s1→rの変換はs3に等しいことがわかる。
このようにすべての元の組み合わせの積を表にまとめると以下のようになる。

正三角形の二面体群D6.jpg

この表の重複から、正三角形の二面体群D6の元の数をより減らすことができるので、s1をsとすると、s2=r^2s、s3=rsより、D6の元(e、r、r^2、s1、s2、s3)は

e、r、r^2、s、rs、r^2s

と表しなおすことができる。

また
120°回転を三回繰り返せば元の位置に戻るので、r^3=e
鏡映(反転)を二回行なえば元の位置に戻るので、s^2=e である。

さらに
r→s=s→r^2(=s2)

r2はrの逆元r^(-1)だから(時計回りに240°回転は、反時計回りに120°回転といっしょ)
r→s=s→r^(-1)

したがってD6の6つの元は、rとsの2つの元で全て表すことができることが分かる。

ここで、自明でない部分群とは、自明な部分群であるGと{e}を除いた部分群なので、
(e, s)
(e, sr)
(e, sr^2)
(e, r, r^2)

二面体群D10の共役類の問題
共役とは
B=(g)A(g^-1)という式が成り立つAとBの関係のことである(gはGの部分群)。

D10は正五角形の二面体群なので(ちなみにD12だったら正六角形)、その元は

e(動かさない)
r(72°回転)
r^2(144°回転)
r^3(216°回転)
r^4(288°回転)
5つの鏡映s1、s2、s3、s4、s5

の合計10個あり、元の積の重複を踏まえると

D10={e、r、r^2、r^3、r^4、s、rs、r^2s、r^3s、r^4s}

となる。

また、それぞれの逆元は
s^-1=s
r^-1=r^4
r^-2=r^3
r^-3=r^2
r^-4=r

さらに72°回転させてから反転させること(sr)と、反転させてから288°回転させること(r^4s)は結果として同じなので・・・
sr=(r^4)s

同様にして
s(r^2)=srr=(r^4)sr=(r^4)(r^4)s=(r^3)s
s(r^3)=srrr=(r^4)srr=(r^4)(r^4)sr=(r^4)^3 s=(r^2)s
s(r^4)=(r^4)^4 s=rs

ここで
sr=r^4s=r^-1s (どれも結局288°回転)なので

srs^-1=r^4=r^-1

これを一般化すると
s(r^a)s^-1=r^-a・・・①

またr^aとr^bは互いに可換(交換法則ができる)の関係なので

(r^b)(r^a)(r^-b)=r^a・・・②

①②から
{(r^b)s}(r^a){(r^b)s}^-1
=(r^b){s(r^a)s^-1}(r^-b)
=(r^b)(r^-a)(r^-b)
=r^-a

よってr^aの共役類は{r^a、r^-a}となる。

これを踏まえてD10のrの共役類は
rの共役類=r^4の共役類なので{r, r^4}
r^2の共役類=r^3の共役類なので{r^2, r^3}

次にsの共役類を考える。
rsr^-1=rr s=r^2 s なので(結局144°回転)
これを一般化して
(r^b)s(r^-b)={r^(2b)}s

これを踏まえてD10のsの共役類は
ese^-1=s
rs(r^-1)=rs(r^4)=rrs=(r^2)s
(r^2)s(r^-2)=(r^2)s(r^3)=(r^2)(r^2)s=(r^4)s
(r^3)s(r^-3)=(r^3)s(r^2)=(r^3)(r^3)s=rs
(r^4)s(r^-4)=(r^4)sr=(r^4)(r^4)s=(r^3)s
となり
{s, rs, (r^2)s, (r^3)s, (r^4)s}

最後にeの共役類だが、単位元はすべての元と可換の関係なので
D10のeの共役類は{e}

よって二面体群D10の共役類は
{e}
{r,r^4}
{r^2,r^3}
{s, rs, (r^2)s, (r^3)s, (r^4)s}

生物学実験覚え書き

 実験自体は8月1日~3日に行ったんですが、確率論や解析学など怒涛のごとくタスクがあったので、とうとうこの日になってしまったよ。もう何をやったか忘れかけてるんだけど、覚えてる範囲で面白かったことをここに書き記すものである・・・とその前に、最近見た2本の映画のミニ感想。

ペット
「面白い度☆☆☆ 好き度☆☆☆」
ピクサーの『トイ・ストーリー3』のシナリオを、ドリームワークスの『マダガスカル』のノリでやったような映画。すごいバカバカしいw
飼い主が留守の間あなたのペットはバスを運転していた。

ジャングル・ブック
「面白い度☆☆☆☆ 好き度☆☆☆☆」
映像が凄まじい。全世界の動物タレント震撼。ディズニーに動物動かさせたら敵なしだよな。とにかく動物のしぐさが愛くるしい。動物映画では『ベイブ』以来の感動。
しかし、なんだよ最近のディズニーは。落ち度がなさすぎてちょっと腹立つ。EDもオシャレで必見。そしてED曲はやっぱり007風w八代亜紀さんが歌ってたりして。

教授おすすめ書籍
ウィキペディアでさも知った風な口をきくのはいけない。

『ダイナミックワイド図説生物』東京書籍
高校の生物の資料集的に買われている本。値段の割に最新成果も取り入れられていて、とてもいい。

『生物学辞典第5版』岩波書店、『分子細胞生物学辞典第2版』東京化学同人
研究者たるもの辞書がないと話にならないらしい。

『ちょっと知りたい雑草学』全国農村教育協会
この草なんの草、気になる草(言いづらい)的な時におすすめの一冊。

『復刊自然の観察』農村漁村文化協会
戦中の理科の教科書。少年よ、教科書を捨て野山へいけ、みたいな実践的な内容でなかなかいいらしい。ただ値段が高い(^_^;)

『解剖・観察・飼育大辞典』星の環会、『日本の淡水プランクトン図解ハンドブック』合同出版
実験、観察の参考書としておすすめ。

安全指導
実験も観察も研究も安全第一。

白衣
実験中、自分の衣服に薬品が付着するのを防ぐために着るわけであり、よく萌えアニメで理系美少女キャラがどこでも白衣着てるけど、あれは納得できんと熱く語っておりました。

手袋
革手袋→液体窒素を使うときに(そんな状況あまりない気がする)。
薄い手術用手袋→自分の手ではなくサンプルを汚染しないようするときに。
何を行うかによって使う道具を選ぶ!

知識のある人の義務
専門家じゃない清掃員の人が殺菌室の紫外線のスイッチを切らずに失明してしまう事故があった。こういうことは知識のある人が事前にちゃんと教えないといけない。

防火タオル
万が一に備えて複数用意する。
ただアルコールランプがこぼれて実験机が燃えたときは、慌てずにちょっとほっとくと消えるらしい(理科室の机は耐火製)。

非常用シャワー
一度レバーを引くと一定量のまとまった水が辺りびしょびしょにしようがお構いなしで降り注ぐ。このレバーを引くときは全身に薬品や火がついている命に関わる時なので、使用をためらってはいけない。

野外観察
「先生この草なに?」と聞かれる恐怖。

クローバーとカタバミ混同問題
クローバーとカタバミ.jpg
あまりに似ているため、身障者のマークが四葉のカタバミになる悲劇が起きた。
葉っぱが扇風機の羽みたいなのがクローバーで、葉っぱがハート型なのがカタバミ。
クローバー(シロツメクサ)は家畜の餌なので牧草地に群生している。
シロツメクサは地面にぺったり広がる。
アカツメクサは地面から立ち上がる。

ハルジオンとヒメジュオン混同問題
ほとんど一緒。
ハルジオンはヒメジュオンに比べて背が低い。
ハルジオンは葉が茎を抱く。ヒメジュオンは葉が茎を抱かない。
ハルジオンは茎が中空。ヒメジュオンは茎が詰まってる。

タンポポとノゲシとブタナ混同問題
花の形は似てるけど、ノゲシは全体を見るとかなりでかいので絶対混同しない。あとアヘンの原料のケシとは名前が似てるだけで無関係。
ブタナはタンポポに比べて綿毛のボリュームが少なめ。
国産タンポポ(カントウタンポポやシロバナタンポポ)はソメイヨシノと一緒で自分の花粉では実がならない(自家不和合性)のでセイヨウタンポポに押され気味。でも何気に根絶されてないので、これには何か理由があると考えられている。

キョウチクトウ
キョウチクトウ.jpg
大気汚染に強いが木全てがポイズン。枝を燃やすと毒ガスが発生するので、キャンプファイヤーやBBQで救急車が出動したりする。子どもが口に入れる可能性から、全国の学校で伐採された。

計量
いろいろあります。

メスシリンダー
目盛(メス)がついているシリンダーで溶液をかなり正確に測りとることができる。
樹脂製は落としても割れず安全だが、より正確に測るならガラス製が良い。

メスピペット
0.1mlごとに目盛がついているピペット。ホールピペットよりも細かい量が刻めるが、誤差が大きい。

ホールピペット
中央部にホールがあるピペット。いくつかの大きさがあるが、例えば10mlと書かれているものは、きっかり10mlだけ測り取れるが、反面10ml以外(9mlや11mlなど)は測り取れない。メスピペットよりは誤差が小さい。

こまごめピペット
測るというよりは液体を移動させるための道具。東京都駒込病院が開発したことに由来する。
ゴムキャップを取り付けて、ポンプの要領で溶液を吸い上げる。

安全ピペッター
ホールピペットやメスピペットに取り付けるゴムキャップで弁がついている。
原理はポンプといっしょ。以下は使い方。
①A(エアー)のボタンを押しながら、ゴム球を凹ませる。
②安全ピペッターをガラスピペットを取り付けたあと、S(サック)ボタンを押し液体をピペットに吸わせる。
③E(イグジット)ボタンを押し、ピペットから液体を出す。
ちなみにゴムのボタンを押すのに結構ちからがいる。

電動ピペット
ボタンを押すタイプのこまごめピペット。腱鞘炎になる。誤差は製品による。
先っちょのプラ部分は使い捨てのアタッチメントになっている。

ビーカー
目盛りがついているものの、おおよその量しか分からない。

上皿天秤
試料の質量を測る天秤。
かなり正確に測れるが、分銅がさびたり油がつくと誤差が発生する。

顕微鏡
いろいろあります。

実体顕微鏡
3D。接眼レンズと対物レンズが一対ずつついているため、両目で立体視ができる。
ちなみに両目だとモノが立体に見えるのは、右目と左目で見える像が違いで、違う=近い、同じ=遠いと認識するため。

位相差顕微鏡
2D。透明の細胞も染色せずに観察できる。

微分干渉顕微鏡
2D。標本の凹凸が影付きで見える。

レーザー鏡焦点顕微鏡
3D。2Dの写真を重ねることで3D化。対物レンズから光を出して標本を走査し、それをモニターで見るタイプの顕微鏡。

生物顕微鏡
使用上の注意点
①光が通過するほど薄い標本しか見れない。
②薄く透明な標本は明るくて見づらいので染色する。
③100倍の対物レンズは空気中ではピントが合わず使えないため、オイルをレンズと試料に塗る必要がある。
④レボルバーを回転させ対物レンズの倍率を高いものに変更するときは、一度対物レンズとステージの距離を開け、対物レンズがステージにぶつからないようにする(高倍率の対物レンズほど筒が長い)。
⑤現在の生物顕微鏡はレンズの倍率を変更してもピントを合わせなおす必要がない。
⑥開口しぼりで焦点深度を調節できる。焦点深度が深いと暗くなるが、標本に影(奥行き感)がつく。

生物顕微鏡.jpg

操作手順
①ボックスから取り出すときはアームと台座を持って、顕微鏡を持ち上げる(顕微鏡は机上で引きずらない=振動を与えない)。

②電源が「0」(OFF)になっているかを確認してから、電源コードをコンセントに指す。

③電源スイッチのとなりの明るさ調整つまみが最小になっていることを確認してから、電源を「1」(ON)に入れる。

④ステージ粗動ネジを使って、対物レンズとステージのあいだをあけ、プレパラートをステージの上で固定させる。

⑤ステージ左下の二つのハンドルを使ってプレパラートの位置を水平移動させ、標本が対物レンズのだいたい真下に来るようにする。
※小さすぎて標本の位置が肉眼でわからない場合は、まずステージを上下移動させ高さからピントを合わせて、そのあと水平方向に動かし、位置をスキャンする。

⑥粗動ハンドルを回して、対物レンズと標本をできるだけ接近させる。

⑦接眼レンズを覗きながら粗動ハンドルを回して、少しずつ対物レンズと標本の距離を離していく。

⑧少しだけプレパラートを水平移動し、それに連動した動きが視認できたら、今度は微動ハンドルに切り替えて標本にピントを合わせる。

⑨左右の視力の違いを、接眼レンズの視度調節ねじを使って調整する。片方の効き目だけで接眼レンズをのぞきながら微動ハンドルを使ってピントを合わせたあと、もう片方の目の接眼レンズのしぼりを回して視力の違いを調節する。

⑩視野の明るさにムラがある場合は、コンデンサーの位置を上下させる。基本的にはコンデンサーの位置は上限とする。コンデンサーについた開口しぼりの調節リングは、基本的に対物レンズの開口数に合わせる。

チリメンモンスター
ちりめんじゃこの製造過程で混入している、ちりめんじゃこ(シラスやカタクチイワシ)以外の海洋生物を、ポケモン的にチリメンモンスター(チリモン)という。
数年前にタモリ倶楽部でも取り上げられていたけど、これを考えた人すごいよな。食品製造過程の廃棄物を逆転の発想で有価物に変えちゃったわけで。
というわけで私もチリモンGOをプレイしてみました。プレイ後30分であまりの細かい作業に根を上げました。
私がゲットしたモンスターは以下のとおり。
チリモン.jpg

その他の最新生物学事情

図鑑はイラストか写真か問題
最近の図鑑は写真が多いが、顕微鏡写真の色は倍率によって変化するのであてにならない。
形態の特徴を理解するにはやっぱりイラストがいいという。

ヒトの細胞の数
60兆個と言われていたが、2年前にちゃんと数え直したら37兆個だった。
田代の細胞.jpg
たしろ(32)のセル。

赤血球の生産
哺乳類の赤血球には核がないので分裂ができず、そのため骨髄でコンスタントに生産しなければならない。また赤血球は柔軟に形が変えられるため、狭い毛細血管の中も通過できる。

生物の器官
植物は根、茎、葉・・・みたいに分けていくイメージがあるが、分け方は栄養器官と生殖器官のたった二つしかない。
動物は上皮組織、結合組織(骨、血液、脂肪)、神経組織、筋組織の四つある。

被子植物の分類
被子植物の分類は単子葉類と双子葉類の2種類だったが、モクレンが双子葉類から離脱し、モクレン類、単子葉類。真正双子葉類の3つに別れることになった。

切っても切ってもプラナリア
実は野生のプラナリアは切っても二つに分かれないことが多い。
ただ慶応大学にプラナリアの専門家がいて、彼女が飼育しているプラナリアは100回切ったら100匹になったらしい。大学や研究機関のプラナリアは強い。

代謝と燃焼
式自体はグルコースの燃焼と一緒だが、生物はグルコースをゆっくり燃やすため熱や光を出さずエネルギーを無駄にしないようにしている。

生物発光
ホタルの光はルシフェラーゼという酵素による化学反応のエネルギーのあまりとして放出しされている。しかし熱はやっぱり出さない(生物発光は熱を出さない!)。
ちなみにホタルの発光物質と酵素はキッコーマンがホタライトとして販売している。

無機触媒
アイドルのライブで観客が振るスターウォーズみたいなやつは、シュウ酸エステル誘導体と蛍光物質と過酸化水素を混ぜると光る。だから、あれを使うときはスティックをポキッと折って内部の液体を混ぜるらしい。無機触媒は有機触媒と異なり温度変化の影響を受けず、温度が高ければ高いほど反応が進むので、たまにエスカレートしすぎて反応炉が爆発する。

透明化標本
一時期流行ったやつ。筋肉はアルカリで透けるので、これを利用して作る。
透明標本.jpg

最新解剖事情
グロかったり怖かったりするため、最近は解剖をしない学校も多いが、それを克服するためのアイディアとしてニジマスを解剖後、ムニエル(レモンソースがけ)を作るというものがあったが、解剖直後は食欲がそそらないと不評だったらしい。
別のアイディアとしては煮干しの解剖がある。大きさもコンパクトで、指と楊枝で手軽に真っ二つに割れるため、手軽に魚類の内部構造が観察できる(生ゴミも出ず、食べれるし、食べれなくても乾物なので燃えるゴミで捨てられる)。
DSC_0599.JPG

解析学覚え書き①

 解法が覚えきれん。特にリミット(極限)が好かん。アキレスとカメのパラドックスも、無限に時間を刻んじゃうからいつまでたってもカメに追いつけないわけで、そもそもその発想が違うんじゃないかっていうね。
 実際ゼノンも直線の無限分割を批判する文脈で、このパラドックスを論じたらしい。シュレーディンガーのネコ的に。

 こういう脳が疲れた時にこそ『ペット』のようなバカ映画よ。あと、この前いまさらだけど『バトルロワイヤル』観た。なんも内容がなかった。公開当時は、すごいセンセーショナルな内容で、これ以後サブカルで「殺し合いゲームもの」みたいなジャンルができたような気もするけど、私はなんといっても酒鬼薔薇世代だからな。こういう「最近の中学生はモンスター」的な映画に、すごい嫌悪感があった(『告白』とか)。
 そもそも子どもっていうのは「おとな」と「こども」のように二元的に隔てられうる種族じゃないわけで、時間的な経過点なわけじゃん。来た道、行く道で。
 まあそういうマスコミの短絡的な報道を、この映画は皮肉ったのかもしれないんだけど、鑑賞してみてびっくり。全くテーマや内容がないww
 ただ中学生がサバイバルゲームやって撃ち合うだけ。超テレビゲーム。たけしさんが出てくるんだけど『アウトレイジ』のような痛さはゼロ。
 例えば、マリオでクリボーを踏み殺すとき、そんな罪悪感ってないじゃん。この映画も何十発もマシンガンの弾があたっているのにみんな結構平気なんだよ(^_^;)この映画のマシンガンって、かめはめ波みたいなもんで様式美なんだよな。でもサブカルチャーって本来はそんなものなのかもな。
 逆に、ここまで暴力をリアリティのないものとして描けるんだってことにゾッとしたっていうのはある。だから国会がやばいぞって動いたんだろう。そう言う意味で女の子が戦車乗るやつと変わらねえんだ。弾が当たったら死ぬか死なないかの違い。
 で、キャラが死んでも、クリボーが死ぬレベル。ゲームやってるとそういう感情が麻痺するのかもしれない。そういや、自分の時代ってテレビゲームをやる女子って少数派だったからさ、たまにいたよね。あまりテレビゲームやらない女の子がクリボー踏む時に「ごめんなさい!」って言ったり。あのピュアな感性を忘れずにいたいものよ。

 そんなわけで、映画観るのに頭使いたくないっていう客が多いのも、今ならわかるわ。学生は学校以外で頭を使いたくないのだ。

逆関数
y=2Xは、YはXを二倍した値という意味だが、これをXの視点から考えると、XはYを二で割った値ということになる。
この時のX=Y/2を逆関数という。

三角関数の逆関数
三角関数では、Y=tanXを満たすXは複数あり、ひとつに絞られないため
X=arctanYみたいに表す。
これを踏まえて
arctan1.jpgという逆三角関数の足し算の値を求める。

arctan2.jpgはタンジェント(正接)の逆関数(アークタンジェントarctan)であるので

arctan3.jpg
とすると

arctan4.jpg
なので

arctan5.jpg
※tan=sin/cos

上のタンジェントの加法定理の式に代入すると
arctan6.jpg

タンジェントが1になる角度は45°(=π/4)なので
arctan7.jpg

逆三角関数の微分
逆三角関数の微分.jpg

arctan微分.jpg
を微分すると
名称未設定-1.jpg
2/√3有理化をして
名称未設定-3.jpg

極座標
ある点P(x,y)が座標上にあったとき、点Pの原点からの距離rと、その点と原点を結んだ直線の傾き(角度)θをまとめて表した(r,θ)を点Pの極座標という。
このとき、点Pと、原点と、点(x,0)で直角三角形を作ると
x=r×cosθ → cosθ=x/r
y=r×sinθ → sinθ=y/r
rは三平方の定理から
極座標.jpgと表せる。

曲線
極座標2.jpg
を直交座標(※)で表した時の方程式は、二倍角の公式を使って
極座標3.jpg
となる。

(※)座標を表す直線が直交する方眼紙のような座標。中学校で習うデカルト座標

対数微分法
対数微分法1.jpg
を微分すると、両辺をxで微分するので(※)
対数微分法2.jpg

(※)yについての式であるlogy.jpgをxで微分するにはちょっとした工夫が必要になってくる。

①yをxで微分するとy'
logy.jpgをyで微分すると1/y

①②より合成関数の微分と考えて
対数微分法3.jpg

確率論覚え書き

 本当に覚え書きレベル。おそらく積率母関数の解法も追加すると思うんだけど、ちょっと現段階では歯が立たないので後回し。
 しかし、数学を解いていると時間があっという間に過ぎてタイムワープするよね。そして寝不足。そりゃ、円周率やフェルマーの最終定理の証明に人生すべてを使っちゃう人も出てくるよね。
 この前買った統計学の本にも「なんと!このテキストは通し読みがたったの二週間でできます!」みたいに書いてあって、軽く衝撃を受けたもんw読書に対するイメージが文系のそれとは全く異なるわけだ。
 だから高校の数学のカリキュラムがいかに無茶な詰め込みをやっているのがよくわかるよね。初見は理解に時間がかかるのは当たり前なのに、自分の学校なんかは理系進学校とかで3年分を2年で終わしちゃってたしね。当然取り残されたしたよ、あたしゃ(C)浅香光代さん
 むしろ、あれでついていける方がおかしいんだよな。エリート以外をそぎ落とすためのカリキュラムなんだろうな。

参考文献:塚田真一著『Primary大学テキストこれだけはおさえたい確率統計』

確率の基本用語
中学~高校で習う言葉をおさらい。
おう、なつだぜ。おれはげんきだぜ。カップとキャップがややこしいぜ。

施行
結果が偶然に支配されている実験のこと。ある施行(サイコロを転がす)を行った時に、起こり得る結果(2や5)を根本事象、これを集めた集合を標本空間Ω(1、2、3、4、5、6)という。

数学的確率(ラプラスの確率定義)
有名なラプラスによる定義(Since1812)。ある施行(例:サイコロをふる)についての標本空間のサイズがn(1~6の目=6通り)で、どの根本事象(目)も、“同様に確からしく”起きるとき、Eが起きる場合の数をrとすると、Eが起きる確率P(E)は

P(E)=r/n

経験的確率(統計的確率)
明日の天気や保険会社の掛け金など、手持ちの統計(データ)をもとに未来を予測する確率。
サイコロを振る回数をどんどん増やしていけばいくほど、ある目が出る回数はだんだん1/6に近づいていくという考え方。
つまり試行回数をn、そのうちEが起きた回数をrとする

P(E)=lim(n→∞)r/n

リヒャルト・フォン・ミーゼスが定義(Since1928)。ちなみに兄のルートヴィヒ・ミーゼスはハイエクの師匠として有名なオーストリア学派の経済学者。

全事象
必ず起こる事象。

空事象
絶対起こらない事象。

和事象
AかBのどっちか一方が起きる事象のこと。A∪B(AカップB)と表す。
AorBのがわかりやすい気がする。

積事象
AtoBが同時に起きる事象のこと。A∩B(AキャップB)と表す。
AandBのがわかりやすい気がする。
A∩Bが空事象であるときは、AtoBは互いに排反であると呼ばれる。

余事象
Aが起こらない事象。Acと表す。Aは起こるが、Bは起こらない事象はA∩Bcとする。

ド・モルガンの法則
モーガンではなく、あえてモルガンと読む。ベン図を書くと分かりやすい。

①Aが不可能またはBが不可能である場合、AとBを兼ねることは不可能。
Ac∪Bc=(A∩B)c

②AとBが同時に不可能である(AもBも起きない)場合、AまたはBであることは不可能。
Ac∩Bc=(A∪B)c

確率分布
ひとつのサイコロを2回投げた時、出た目の大きい値をxとする。
このときxの確率分布および、その平均と分散を求めよ。

x=1の時
2回とも1の目の時だけなので
1/6×1/6=1/36

x=2の時
①1回目が1、2回目が2の時
②1回目が2、2回目が1の時
③1回目も2回目も2が出た時
の3パターンあるので
3/36

もしくは(1回目も2回目も2以下の目の時)-(x=1の時)なので
2/6×2/6-1/36=3/36

x=3の時
同様に(1回目も2回目も3以下の目の時)-(1回目も2回目も2以下の目の時)なので
3/6×3/6-4/36=5/36

x=4の時
(1回目も2回目も4以下の目の時)-(1回目も2回目も3以下の目の時)なので
4/6×4/6-9/36=7/36

x=5の時
以下省略
5/6×5/6-16/36=9/36

x=6の時
6/36×6/36-25/36=11/36

したがって確率分布の平均は
(1×1/36)+(2×3/36)+(3×5/36)+(4×7/36)+(5×9/36)+(6×11/36)=161/36≒4.472

分散は、(各事象と平均との差の二乗)×その事象の確率なので

 {1-(161/36)}^2×1/36
+{2-(161/36)}^2×3/36
+{3-(161/36)}^2×5/36
+{4-(161/36)}^2×7/36
+{5-(161/36)}^2×9/36
+{6-(161/36)}^2×11/36

となり、通分して分子を足したり、電卓を使って二乗すると

 15625×1/46656
+7921×3/46656
+2809×5/46656
+289×7/46656
+361×9/46656
+3025×11/46656

 15625/46656
+23763/46656
+14045/46656
+2023/46656
+3249/46656
+33275/46656

=91980/46656
≒1.97

倍数の判定方法
それぞれ1、2、3、4が書かれたカード4枚を無作為に並び替えて4ケタの数字を作る。
この時出来た数字が4の倍数である確率を求めよ。

無作為に並べて出来る4ケタの数は4×3×2×1=24通り。

4の倍数は100の位より大きい位はすべて4で割れてしまうので、下2ケタだけ確認すればいい。

4(250×A+25×C)+10×C+1×D

4ケタの数字の下2ケタが4の倍数になる場合は、12、24、32の3通りなので、4の倍数になる確率は3/24=1/8

ベイズの定理
Aが起きる確率×Aが起きて更にBが起きる確率と
Bが起きる確率×Bが起きて更にAが起きる確率は
AとBが同時に起きる確率と等しいという定理。

P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)=P(A∩B)

Aを「ハンバーガーを注文した客の数」、Bを「ポテトを注文した客の数」などにして、ベン図を書いて実際に計算してみるとわかりやすい。
例えば100人のお客がサンドサンドバーガーコスモ店にやってきて、そのうちハンバーガーをオーダーした客が70人、ポテトをオーダーした客が30人いたとする。
さらにハンバーガーとポテトをどちらもオーダーした人は100人中20人いた。

ハンバーガーとポテトをどちらも注文した人の確率は言うまでもなく2/10
ハンバーガーを注文し、さらにポテトを注文した人の確率は70/100×20/70=2/10
ポテトを注文し、さらにハンバーガーを注文した人の確率は30/100×20/30=2/10

よってどれも同じ確率である。

もう一つ大学で出された問題をやってみる。
同じ形をした3個の箱A,B,Cがある。
箱Aの中には赤玉1個と青玉1個が入っている。
箱Bの中には赤玉1個と青玉3個、箱Cの中には赤玉2個と青玉3個が入っている。
3つの箱の中から1つの箱を選び、選んだその箱から玉を1個無作為に取り出すとき、次の確率を求めよ。

(1)取り出した玉が青玉である確率
青玉が出る事象をbとすると、その確率P(b)は
P(b)=P(b∩A)∪(b∩B)∪(b∩C)
   =P(b∩A)+P(b∩B)+P(b∩C)

箱Aを選んで青玉を取り出す確率P(b∩A)は
1/3×1/2=1/6
箱Bを選んで青玉を取り出す確率P(b∩B)は
1/3×3/4=1/4
箱Cを選んで青玉を取り出す確率P(b∩C)は
1/3×3/5=1/5
したがって
取り出した玉が青玉である確率は
1/6+1/4+1/5=37/60

(2)取り出した玉が青玉であるとき、箱Aが選ばれた確率
箱Aを選んで青玉を取り出す確率/取り出した玉が青玉である確率
なので
1/6/37/60 =10/37

確率密度関数
根本事象がデジタルな離散形の確率ならともかく、連続型の確率の場合、その事象がピッタリ起きる確率はほとんどゼロであるため、確率を求めたい事象にA以上B以下といった具合に幅を持たせる。
この考えのもと、連続型確率変数 X(どの根本事象が起きるかによって変わる変数。サイコロの目なら1~6のどれか) に対して,Xが a 以上 b 以下となる確率が

P(a≦X≦b)=∫[a→b]f(x)dx

である場合、f(x)は確率密度関数と呼ばれる。

また、このときの平均は、確率変数X×確率密度関数f(x)の積分となるため

E(X)=∫[a→b]Xf(x)dx

連続型確率変数Xの一次変換Y=aX+b (aとbは定数)の平均は
E[Y]=a E[X] +bになることを確かめてみる。

確率密度関数をf(x)、確率変数をXとする

E(X)=∫[-∞→∞]Xf(x)dx

Y=aX+bとして

E(Y)=∫[-∞→∞] Yf(y)dy
  =∫[-∞→∞] (aX+b)f(x)dx
  =a∫[-∞→∞]Xf(x)dx+b∫[-∞→∞]f(x)dx
  =aE[X]+b※

※∫[-∞→∞]f(x)dxの確率は1(100%)になるため。

確率分布の平均
f(x)=k(x^2-1)(-1≦x≦1)
f(x)=0(x<-1、1<x)
が確率密度になるようにkの値を求め、その確率分布の平均を求めよ。
確率分布関数①.jpg

上の式を積分すると
1の積分はx
x^2の積分はx^3/3なので
確率分布関数②.jpg

確率分布関数③.jpg
-4/3k=1なので、k=-3/4

確率分布の平均は
確率分布関数④.jpg
※カッコの中が1/4-1/4と1/2-1/2になるので
平均は0である。

モーメント(積率)
次の日頑張ったので追加。モーメントとは確率分布の特徴を表す量。
E[X]を確率の期待値(平均値)、次数をkとすると

離散形では
モーメント離散形.jpg

連続型では
モーメント連続型.jpg

となり、1次(k=1)だと期待値(平均値)、2次(k=2)だと分散、3次(k=3)だと歪度、4次(k=4)だと尖度が求められる。

モーメント母関数
微分して任意の実数tに0を代入すれば、1次、2次、3次・・・と、すべての次数のモーメントが得られる関数をモーメント母関数(モーメント・ジェネレーティング・ファンクション)という。

離散形では
母関数離散形.jpg

連続型では
母関数連続形.jpg

モーメント母関数は微分が無制限にできるので、テーラー展開(Xのべき乗の多項式に展開すること)ができる。

テーラー展開.jpg

標準正規分布のモーメント母関数
平均=0、分散=1の標準正規分布の式は
標準正規分布.jpg

なので、連続型の方の式に代入すると
標準正規分布の母関数の解法.jpg
※正規分布の式を-∞~∞の区間で積分すると1になる(確率関数なので)。

よって標準正規分布のモーメント母関数は
標準正規分布の母関数.jpg

となる。
このモーメント母関数を1~4階微分して導関数を求めると、それぞれ
標準正規分布の母関数の1~.jpg
となる。(※)

これらの式に、それぞれt=0を代入すると

1次モーメントは
2次モーメントはeの0乗の答えは1になるので
3次モーメントは
4次モーメントは一番左の項だけ生き残って3×1=

となる。

(※)こしさんの解説(ありがとうございました!)
こしさん.jpg

統計学覚え書き②

 今回は標本調査について。木を見て森を推測するため、誤差が発生する。
 この標本誤差は、母集団と標本のデータ数が近づけば近づくほど小さくなる(全数調査では標本誤差は発生しないから)。これを大数の法則という。
 
正規分布
別名ガウス分布。パラメータ(後述)を説明する際には、ノーマル・ディストリビューションの頭文字Nを用いる。
身長や体重、偏差値など、最も数が多い平均的(フツー)な集団が山の頂上を形成し、フツーじゃない奴はその程度に応じてどんどん山の裾野に追いやられていくという分布。
グラフの形自体はシンメトリーでシンプルだが、式にすると恐ろしいことになる。ちなみにμ(ミュー)は平均、σ2(シグマ)は分散を表す。

正規分布の公式.jpg

exp[ほにゃらら・・・]は経験値・・・ではなく、エクスポネンシャル・ファンクション(指数関数)の略で、対数関数を微分するための無理数(ネイピア数e≒2.71)の指数を表している。
ちなみにネイピア数は超便利で、1を何乗しても1であるように、e^xを何回微分しても答えがe^xのまま変わらない。

そもそも正規分布のグラフは、もっとも簡単に表すと

正規分布の公式2.jpg

であり(急激に減少するタイプの関数)、指数にも指数がついちゃっているので、ややこしいから

正規分布の公式3.jpg

と、表し直す。

次に正規分布は、デジタルではなく、身長のようにスペクトラムなデータを扱うので、その合計値は∑ではなく∫(インテグラル)を使用する。つまり積分(グラフの内側の面積を、シュレッダー的に無限に細かく千切りをしてから、再び貼り合わせて求めること)をする。
ちなみにインテグラルは、足し算の答えのSUMの頭文字のSを縦にビヨーンと引き伸ばしたもので、シグマとあんま意味は変わらない。
ただシグマは1番からn番までを足していたが、インテグラルは数直線の原点0の左右に広がる正の世界と負の世界のそれぞれの地平線の向こう側まで足してしまう。
オレ達と一緒に行こうぜ!無限大の彼方へ!(懐かしい)

正規分布の公式4.jpg

を積分すると、ガウス積分の公式より、その値は円周率の平方根と等しくなるので

ガウスの積分公式.jpg

また、正規分布はそこに含まれるすべての集団の割合の合計値が1(=100%)になるので、方程式の右辺を1にするために、両辺を√πで割る。

ガウスの積分公式2.jpg

個人的にはこの形で終了でもいいと思うんだけど、この式を微分すると、係数で×2が出てきちゃうので、その手間を省くためにXを変数変換(※)して調整する。

※X→√2×X’と変換する(√2で割る)と指数は複雑になるが、微分したあとの係数が1になる。

ガウスの積分公式3.jpg

こうしてできた式が、平均が0(正規分布のグラフの真ん中を示す軸zがX=0、つまり中心にある)、分散が1(標準偏差も1)という、最もわかりやすい正規分布、標準正規分布の式である。
実際は平均が中心からずれてたり(軸zがプラスにズレたりマイナスにズレたり)、分散も1より小さかったり(グラフの幅が狭まる)、1よりも大きかったり(グラフの幅が広がる)するので

正規分布の公式.jpg

として、μとσに具体的な値を代入し、グラフの形を求める。

母数(パラメータ)
母集団分布の状況を曲線で示したときに現れる、そのモデルを特徴付ける特性値のこと。
たとえば、正規分布の曲線の場合、平均μと分散σ2のふたつの母数の値が決まれば、曲線の形状が決まることが、さっきの式で理解できる。

標本の抽出方法
いろいろあります。

無作為抽出
母集団から完全にランダムに標本を選ぶというイメージがあるが、厳密には母集団が含む調査対象をすべて同じ確率で選ぶ抽出方法を指す。そう言う意味で乱数は完全なカオスってわけでもない。

単純無作為抽出法
母集団のすべてのデータをナンバリングして標本を選ぶ方法。母集団の大きさがそれほどでもない時に使える。

系統抽出法
母集団のすべてのデータをナンバリングし、最初に一つサンプルを選び、このサンプルのナンバーから一定間隔で次の標本を選んでいく方法。

多段抽出法
都道府県を選ぶ→選ばれた都道府県の中の市町村を選ぶ→選ばれた市町村の中の地区を選ぶ・・・といったように段階的に集団を選ぶ方法。

層別抽出法
母集団に含まれる各グループの構成比率を考慮して標本を選ぶ抽出方法。
例えば母集団の構成が、Aグループ70%、Bグループ30%で、ここから100人のサンプルを選ぶ場合、Aから70人、Bから30人を選ぶとあらかじめ設定してしまう。

最尤法
現在手元にあるサンプルは最も手に入れやすい、一番妥当なサンプルであると仮定する方法。例えばコイントスを10回して、表が6回、裏が4回出たとすると、このコインで表が出る確率は60%が妥当だと考える。
とはいえ、このコインが表を出す本当の確率はよくわからないので、これをpとすると、裏が出る確率は(1-p)となり、先ほどの試行結果が出る確率(尤度関数L)は

尤度.jpg

となる。では、この式の確率を最大にするためのpの値はいくつなのかを考えると、上の式の尤度関数か対数尤度関数の答えを最大化させればいいので、比較的計算が易しいほうの対数尤度関数で計算すると

尤度2.jpg

これを微分して答えが0になれば、正規分布に傾き0の接線が引け、それが可能なポイントはグラフの頂点だけだということで、尤度関数の確率は最大になる。
ということで、微分してみると

尤度3.jpg

分数の足し算なので、通分して

尤度4.jpg

よってこの答えを最大化するにはpに3/5を代入すれば分子の()の中が0になり、答えが0になるので、p=3/5、すなわち6/10で、やっぱり60%となる。

最尤推定量
この話を一般化すると、パラメータθの母集団f(x;θ)からn個の無作為標本をゲットした場合、尤度関数L(θ|x1,x2…xn)は

尤度5.jpg

また、対数尤度関数は

尤度6.jpg

これを最大化させるパラメータは最尤推定量(θハット)と呼ばれる。

例えば、平均μ、分散σ2の正規分布N(μ,σ2)からn個の無作為標本x1,x2,・・・,xnをゲットしたとして、この時の母集団の平均μの最尤推定量と、分散σ2の最尤推定量を求める。
まず、下ごしらえ。
n個の無作為標本が平均μ、分散σ2の正規分布に従う確率は、1個目~n個目までのデータをかけていくので、小学館の机を使って

名称未設定-1.jpg

これを計算すると

名称未設定-2.jpg
    
の部分は普通にn回かければよく、

名称未設定-3.jpg

の部分は指数なので、指数法則(※)より、指数同士をn回足せばいいので
指数法則.jpg

名称未設定-4.jpg 

かなり複雑なので、対数尤度関数の形にして
   
名称未設定-5.jpg

指数をマイナスにすると分母が累乗されるので

名称未設定-6.jpg

この式を最大にするμの値を求めればいいので、この式を微分するわけだが、この式にはμとσの二つのパラメータがあるので、まずは平均μについてだけ微分する。つまり、σを定数としてμで微分する。
こういう複数のパラメータがある際、任意のパラメータだけを微分することを偏微分といい、偏微分をしたよという意味の(デルもしくはデルタ、ディー)をつける。

指数のない

名称未設定-6.5.jpg

の部分は消え、

指数2のある

名称未設定-7.jpg
    
は指数の2が消えて、係数の2がつくので
    
名称未設定-8.jpg

この値が0になればよいので

名称未設定-9.jpg

の時に分子が0になり、対数尤度関数は最大になる。
よって、平均μの最大推定量μ^(ミューハット)は

名称未設定-10.jpg

で、標本平均値と同じということがわかる。

次に、分散σ2の最尤推定量を求める。今度はσ2で偏微分すればいいので、まずは微分しやすいように式の形を変える。

σ1.jpg

log()の平方根は、2で割ると()の中が2乗されて消えるので

σ2.jpg

分配法則を使って

σ3.jpg
   
ここでσ2で偏微分して(※y=logxの微分はy′=1/x)

無題.jpg
   
この分数の引き算を通分して

σ5.jpg

この式が=0になればいいので

σ6.jpg

よって、分散σ2の最尤推定量σ2^は

分散の最尤推定.jpg

統計的仮説検定
生まれたばかりのラット15匹のうち、8匹には飼料Aを、7匹には飼料Bを与え飼育した。一定期間後に体重(g)を量ったところ以下のようなデータが出た。

飼料A 46.9 46.2 47.1 45.0 48.7 47.6 46.8 48.6
飼料B 48.6 49.2 47.5 51.0 50.3 49.0 49.7

このデータから餌の違いがラットの生育に影響を与えているかどうかを、有意水準(危険率)5%で仮説検証する。
ただし、ラットの集団は正規分布に従い、飼料Aの群れと飼料Bの群れの分散は等しいとする。

二つのグループがある場合の分散は

ラット2.jpg

つまりグループAのそれぞれのラットの体重とグループAのラットの平均体重の差の合計を二乗した値と、グループBのそれぞれのラットの体重とグループBのラットの平均体重の差の合計を二乗した値を足し、さらにラット15匹-2=13で割る。

グループA.jpg

グループB.jpg

したがって、分散は

ラットの分散.jpg

この推定量を使って

t分布.jpg

が自由度13のt分布の95%のエリア内かどうかを確かめる。

Sはだいたい1.19なので

t分布2.jpg

となる。
最後に、この-3.55が自由度13のt分布の95%のエリアに入っているかを、テキスト巻末資料のt分布の棄却点の表で確認する。
すると自由度13のt分布の棄却点は±2.160なので、-3.55は自由度13のt分布の95%のエリアから外れていることがわかる。
つまり「餌の違いがラットの生育に影響を与えている」という仮説が実際に正しい場合、上記のデータが現れる確率は5%以下であるため、この仮説は有意水準5%で棄却される。
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